Egenvärde 2

det(A - $\lambda E$) = $det\left(A_1- \lambda E_1, A_2- \lambda E_2, ..., A_n- \lambda E_n\right)$.

Sedan är det bra här att känna till att determinanten är multilinjär i sina kolumner. Dessutom är determinanten noll om (och endast om) kolumnerna är linjärt beroende.

Du kan utveckla determinanten mha multilinjäriteten och samla alla termer som får en faktor ${\left(-\lambda \right)}^{n-1}$. 

Kompletterade din rubrik så att det inte ser ut som en dubbelpost. Det ä rförvirrande för oss som svarar om du har flera trådar med samma rubrik. /moderator

Vad menas med faktor ${(-\lambda )}^{n-1}$? Förstår inte helt vad det är jag ska visa. 

Låt oss för enkelhets skull ta fallet n = 2. Vi har då att beräkna

$det\left(A_1-\lambda E_1, A_2-\lambda E_2\right)$.

Här är A_i den i:te kolumnen hos matrisen A och E_i är den i:te vektorn i standardbasen.

Vi utnyttjar nu multilinjäriteten för att utveckla determinanten.

$$\begin{gathered} det\left(A_1-\lambda E_1, A_2-\lambda E_2\right) = det\left(-\lambda E_1, -\lambda E_2\right)+det\left(A_1, -\lambda E_2\right)+det\left(-\lambda E_1, A_2\right)+det\left(A_1, A_2\right) = \\ {\lambda }^{2}det\left(E_1, E_2\right)+-\lambda \left(det\left(A_1, E_2\right)+det\left(E_1, A_2\right)\right)+det\left(A_1, A_2\right) = \\ {\lambda }^2+-\lambda \left(det\left(A_1, E_2\right)+det\left(E_1, A_2\right)\right)+detA. \end{gathered}$$

Vi noterar vidare att 

$A_i=\sum _{k=1}^2{a}_{ki}{E}_k$, i = 1, 2. Varför

$det\left(A_1, E_2\right)=det\left(\sum _{k=1}^2{a}_{k1}{E}_k, E_2\right)=\sum _{k=1}^2{a}_{k1}det\left(E_k, E_2\right)=a_{11}det\left(E_1, E_2\right)=a_{11}$,

där vi åter utnyttjat multilinjäriteten samt att en determinant är noll om två kolumner är lika.

På motsvarande sätt erhåller vi att

$det\left(E_1, A_2\right)=a_{22}$.

Såldes har vi visat att

$det(A-\lambda E)={\lambda }^2-\lambda trA+detA$, för n = 2.

Nu får du försöka generalisera för n strörre än 2.