Egenvärde

Du kan operera A på en egenvektor

$Av = \lambda v$

Vad får du om A^(-1)A opererar på samma egenvektor till A?

$A^{-1}Av=...$

Då borde  $A^{-1}Av = Ev=v$

och eftersom $Av=\lambda v$ så är $A^{-1}Av=A^{-1}\lambda v$ 

och då måste $A^{-1}\lambda v = v \iff A^{-1}\lambda =1$och då har $A^{-1}$ egenvärdet $\frac{1}{\lambda }={\lambda }^{-1}$

Kan visa det så?

eliaw2 skrev:

Då borde  $A^{-1}Av = Ev=v$

och eftersom $Av=\lambda v$ så är $A^{-1}Av=A^{-1}\lambda v$ 

och då måste $A^{-1}\lambda v = v \iff A^{-1}\lambda =1$och då har $A^{-1}$ egenvärdet $\frac{1}{\lambda }={\lambda }^{-1}$

Kan visa det så?

I din näst sista rad tycker jag du gör något konstigt och onödigt. Du skriver $A^{-1}\lambda v=v \iff A^{-1}\lambda = 1$, men $A^{-1}$ är en matris, $\lambda$ en skalär... vad innebär då likheten $A^{-1}\lambda =1$?

Istället kan du bara multiplicera med $\lambda^{-1}$ och få $\lambda^{-1} A^{-1}\lambda v = A^{-1}v = \lambda^{-1} v$. 

Fråga: Hur vet vi att $\lambda \neq 0$?

Hur blir ${\lambda }^{-1}{A}^{-1}\lambda \nu =A^{-1}v$?

eliaw2 skrev:

Hur blir ${\lambda }^{-1}{A}^{-1}\lambda \nu =A^{-1}v$?

Multiplikation me skalär blir samma sak från höger och från vänster,

$aB = Ba$

Du kan samla alla skalärer längst till vänster och förenkla. 

Tycker du kan städa upp ditt svar lite. Första raden bidrar inte med något. Börja svaret med det du vet samt bidrar till resultatet. Näst sista raden är också onödig, som Moffen påpekar.

$$\begin{gathered} Av=\lambda v \\ {A}^{-1}Av =A^{-1}\lambda v \\ v=A^{-1}\lambda v \\ {\lambda }^{-1}v={\lambda }^{-1}{A}^{-1}\lambda v \\ {\lambda }^{-1}v=\lambda {\lambda }^{-1}{A}^{-1}v =A^{-1}v \end{gathered}$$

V.S.B