Egenskaper hos en given funktion

Hej!

Vi har den givna funktionen f(x,y)=(2x^2y+y^3)/(x^2+y^2) för (x,y)≠(0,0). Då noll är i origo, vill vi veta om funktionen är: kontinuerlig i origo, differentierbar, av klass C^1, har partiella förstaderivator i origo, eller inget av ovanstående.

Jag har läst igenom Persson Böiers, Analys i flera variabler, men har svårt och tyda vissa delar. Jag vill gärna veta hur man kan gå till väga för att undersöka de givna "fallen", och lite hjälp för att komma vidare.

Tack på förhand!

Har man inte definierat funktionen på något sätt i origo?

I så fall faller väl vart och ett av påståendena direkt eftersom funktionen är odefinierad i origo.

Hej! Funktionen är noll i origo.

Jaha, då blev det lite mer logiskt. :-)

Börja med att undersöka om den är kontinuerlig i origo. Detta kan du göra genom att se om det stämmer att:

$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}$ $f(x,y)$ $\stackrel{?}{=}$ $f(0,0)$

Jag kom fram till att funktionen är kontinuerlig i origo, eftersom att gränsvärdet går mot noll, när r går mot noll. (Jag gick över till polära koordinater, därav r).

Välkommen till Pluggakuten!

Funktionen kan skrivas

$\displaystyle f(x,y) = y \cdot (1+\frac{1}{1+(y/x)^2})\ , \quad x\neq 0.$

och

$f(x,y) = y$ när $x = 0$ och $y \neq 0$

och

$f(x,y) = 0$ när $x = 0$ och $y = 0$ .

Tack så mycket!

Då jag vill ta reda på om funktionen är kontinuerlig i origo, bör jag väl endast undersöka 'fall 3', som du skrivit ovan.

Vad är det jag tar reda på genom omskrivning av funktionen i 'fall 1' respektive 'fall 2'?

Svara

Visa senaste svar