-e^-x

Börja med $y=e^x$. Den funktionen har egenskapen att den är lika med sin derivata: $y' = e^x$. Det innebär att om du väljer en valfri punkt på den kurvan, och drar en tangent till den, så kommer lutningen på den tangenten vara lika med tangeringspunktens y-koordinat.

Här har jag t.ex. ritat y=e^x och dess tangent i punkten där x=2:

Tangeringspunktens y-värde kan vi beräkna genom att sätta in x-värdet i funktionen: $e^2\approx 7.39$. Om man beräknar lutningen av den tangenten, så kommer man få exakt samma svar. Kurvans lutning är alltså i varje punkt lika med kurvans y-värde i den punkten, vilket är väldigt speciellt.

Om din funktion istället är $y = e^{-x}$ så blir derivatan $y' = -e^{-x}$, dvs $y' = -y$. Det är ett liknande samband: I varje punkt på kurvan är lutningen på tangenten lika med punktens y-värde, fast med omvänt tecken. Så om punkten låg i (1, 3) skulle tangentens lutning vara -3.

Om du har en funktion $f(x)=e^x$ så gäller att dess derivata är $f'(x)=e^x$. Det innebär att $f'(x)=f(x)$, dvs att derivatan i en punkt är lika med funktionsvärdet i samma punkt.

Om du har en funktion $g(x)=e^{-x}$ så gäller att dess derivata är $g'(x)=-e^{-x}$. Det innebär att $g'(x)=-g(x)$, dvs att derivatan i en punkt är lika med funktionsvärdet i samma punkt med omvänt tecken. 

Om du har en funktion $h(x)=-e^{-x}$ så gäller att dess derivata är $h'(x)=-(-e^{-x})=e^{-x}$. Det innebär att $h'(x)=-h(x)$, dvs att derivatan i en punkt är lika med funktionsvärdet i samma punkt med omvänt tecken.