e^x

Bevisa att för varje tal $n \geq 1$ gäller

$e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ²}{2!} + \frac{x ³}{3!} + . . . + \frac{x^{n}}{n!}$

för alla reella tal $x \geq 0$

skulle implikationen se ut så här:

för varje tal $n \geq 1$ är $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ²}{2!} + \frac{x ³}{3!} + . . . + \frac{x^{n}}{n!} - - - > x \geq 0$

1) n =1, $e^{x} \geq 1$ och detta stämmer eftersom om x = 0 vi får 1=1 e =2.71... så t.ex e¹ > 1

2) Antag att $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ²}{2!} + \frac{x ³}{3!} + . . . + \frac{x^{n}}{n!}$ gäller för något $n \geq 1$

Vi vill visa att $e^{x} \geq 1 + x + \frac{x ²}{2!} + \frac{x ³}{3!} + . . . + \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}$

kan man skriva om sista termen så här $\frac{x (x^{n})}{n! + 1!}$ eller bryta ut $\frac{x^{n}}{n!}$

Svårt tal. Det finns en lösning som bygger på integration.

Nej, det behövs inte. Skriv om induktionsantagandet till $e^x\ge1+x+k(n)$ så skall du visa att $e^x\ge1+x+k(n)+$ $\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ . Byt ut de tre första temerna i HL mot det som är lika mycket eller lika med enligt induktionsantagandet, d v s e^x. Kommer du vidare därifrån?

Jag ser inte hur Smaragdalenas metod fungerar.

Får man derivera?

Laguna skrev:
Jag ser inte hur Smaragdalenas metod fungerar.

Får man derivera?

Jag tänker som du.

Nyckeln är att definiera

$f_{n} (x) = e^{x} - 1 - x - . . . - \frac{x^{n}}{n!}$

Då ska vi visa att för alla n så är $f_{n} (x)$ positiv för positiva x för alla n.

Men derivatan av funktion n+1 är funktion n, så induktionsantagandet (för n) medför att funktionen för n+1 är växande. Tillsammans med $f_{n} (0) = 0$ för alla n följer beviset.

Om jag inte tänker helt fel borde uppgiften vara trivial om man utnyttjar Taylor's Theorem.

Laguna skrev:
Jag ser inte hur Smaragdalenas metod fungerar.

Får man derivera?

ja, man får använda verktyg från ma3c

Svara

Visa senaste svar