e^kx och derivata

Dkcre skrev:

Hej,

Så derivatan av funktionen $e^x$är sitt eget funktionsvärde, det är därför e är intressant. Bland annat så klart, men iaf:

Derivatan av $e^{kx} = k * e^{kx}$

Jag förstår inte det. Om vi säger att K = 2 och X = 2, har vi inte då: $e^{(2 * 2)} = {\left(e^2\right)}^2 = e^4$

Derivatan av $e^4$är ju sitt eget funktionsvärde(?)

Däremot enligt regeln där så får vi att derivatan är =  $2e^4$ som är dubbla funktionsvärdet. 

Känner mig helt vilse.

Du behöver skilja mellan konstanter och variabler. Det är ungefär likadant för potenser: derivatan av x² är 2x, derivatan av 3x² är 6x.

Jo, men om vi ger variabeln värdet 2. Enligt potensregler bör vi väl då hamna på $e^4$.

Derivatan av e^4 är ju e^4.

Nää, derivatan av e⁴ är 0. När du sätter in ett värde på x så är det ingen funktion längre, utan bara en punkt, eller ett värde.

Hm.. okej. Om vi säger att vi har en funktion $e^x$och undrar vad derivatan är när vi pluggar in 4 i funktionen? Vi måste ju få ange värden till funktionen annars försvinner ju hela konceptet.

Vad är rätt formulering.. vi läser av y värdet av grafen till funktionen e^x där x =4

*********************

Okej, Vi måste ha en till punkt för att kunna definera derivatan såklart.... Mellan där X är 4 och x = 4 följt av 10^100 0:or sedan en 1a. Men i vilket fall, hur påverkar det min fråga...

Derivatan av f(x)=e^x är f’(x)=e^x. Derivatans värde i x=4 är f’(4)=e⁴. Alltså lutar f(x) i f(4) med f’(4).

Ja, precis..

Så vad skiljer det åt ifrån e^kx när k = 2 och x = 2 när potenslagar säger att det är samma sak som e^4. Men derivatan är 2e^2x.

e^2x är en funktion som du kan derivera och få 2e^2x. Här kan du sätta in x=2 och få 2e⁴, då får du lutningen i punkten x=2.

e⁴ är fortfarande ett värde som du kan derivera och få 0.

Dkcre skrev:

Ja, precis..

Så vad skiljer det åt ifrån e^kx när k = 2 och x = 2 när potenslagar säger att det är samma sak som e^4. Men derivatan är 2e^2x.

Är du med på följande?

• Om f(x) = e^2x så är f(2) = e^2*2 = e⁴
• Men om f(x) = e^2x så är f'(x) = 2*e^2x.
• Då är alltså f'(2) = 2*e^2*2 = 2*e⁴.

========

Jag är lite osäker på vad det är du i så fall undrar över.

Är det så att du anser att eftersom derivatan av e^x är lika med e^x så borde även derivatan av e^kx vara lika med e^kx?

Ja, det är det jag frågar efter. Varför är det inte så.

Och jag är med på de tre punkterna där, men jag är med på det eftersom det står i boken att det är så. Jag fattar det inte. Har läst på matteboken också men jag förstår inte det heller.

Var det detta avsnitt på Matteboken du läste?

Om ja, vilka delar vill du att vi förklarar närmare?

Allt egentligen. Om e^x är sin egen derivata så borde derivatan av e^2x vara dubbelt så stor som derivatan av e^x för alla x. 

Vad är skillnaden mellan derivatan av e^x och e^kx.. vad blir förhållandet.

Dkcre skrev:

Allt egentligen. Om e^x är sin egen derivata så borde derivatan av e^2x vara dubbelt så stor som derivatan av e^x för alla x. 

Varför skulle det vara så?

Vad är skillnaden mellan derivatan av e^x och e^kx.. vad blir förhållandet.

Den andra är en sammansatt funktion. Den första är inte det. I matte4 kommer du få lära dig kedjeregeln som hjälper dig att förstå och beräkna detta. I nuläget behöver du nog bara köpa att derivatan av e^kx är k*e^kx.

Jag vet inte.

Där jag tror det största missförståndet ligger är skillnaden mellan värde och funktion. När du deriverar en funktion får du fram en ny funktion som beskriver derivatan, lutningen, för den ursprungliga funktionen. Det går inte att, som jag ser att försökt på här, att sätta in ett värde på funktion, exempelvis f(2)=e² för f(x)=e^x, och sedan försöka derivera e² till e². Det är en tillfällighet, typ, att värdet f(2)=f’(2)=e² för f(x)=e^x. Derivatan av ett värde, eller en konstant, är alltid 0. Det är först efter man deriverat funktionen, fått fram derivatan, som du kan sätta in värden på x för att få fram derivatans värde.

Okej, tack. Får sätta mig hemma sen och testa och rita upp allt i Desmos osv.

Det finns motiveringar till derivatan av $e^{kx}$ som inte kräver någon kedjeregel. Här är en tråd från förra året där jag visade en sådan:

https://www.pluggakuten.se/trad/m3c-derivatans-definition-for-funktionen-f-x/

Om man vill missbruka notation skulle man kunna säga att exempelvis:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}e^2}{\mathrm{d}(2)}=2e^2$

Men detta handlar mer om vår notation för att beskriva derivator än någon praktisk tillämpning. $\mathrm{d}$ står för "differentia" och innebär en oändligt liten förändring i en variabel. Om vi skulle skriva $\mathrm{d}2$ betraktar vi $2$ som en oberoende variabel.

Klarar inte av att följa med, tror jag gör hela kursen med memorering och går sedan tillbaka och försöker förstå någonting.

Det tror jag inte är en så bra idé, särskilt inte om du dessutom ska läsa Ma4. Men du gör naturligtvis så som du tror blir bäst.

Dkcre skrev:

Klarar inte av att följa med, tror jag gör hela kursen med memorering och går sedan tillbaka och försöker förstå någonting.

Det tror jag  är ett säkert sätt att absolut inte få mer än högst ett E. 

Plocka fram ditt formelblad (eller skriv ut ett, om du inte redan har gjort det). Titta igenom det formel för formel. Känner du igen den och vet hur och när den skall användas? I så fall, gå vidare till nästa formel. Om inte, gör en ny trpd och ställ en frpga här i Pluggakuten. Fortsätt tills du kommit igenom hela formelbladet.

Dkcre skrev:

Klarar inte av att följa med, tror jag gör hela kursen med memorering och går sedan tillbaka och försöker förstå någonting.

Du behöver inte kunna härleda eller ens förstå deriveringsregeln för e^kx.

Du behöver inte heller lära dig den utantill eftersom den står med i formelbladet.

Men du behöver kunna använda den.

Är bara intresserad av att förstå något fullt ut. Klarar jag det inte på en tillfredställande nivå låter jag det hellre vara. Finner det ständigt oerhört besvärligt att förstå det mesta, vilket är drygt.

Läser i boken då dom härleder det här, vilket inte är lika med att förstå det, men det är en början.

Dom skriver för e^2x:

 $$\begin{gathered} \frac{e^{2(x+h)} -e^{2x}}{h} = \frac{e^{2x} * e^{2x} - e^{2x}}{h} \\ \frac{e^{2x} (e^{2h} - 1)}{h} \end{gathered}$$

Så i sista steget där så flyttar man ut faktorn e^2x ifrån uttrycket som om det stod $e^{2x} ( e^{2h} -e^{2x})$

för att få $e^{2h}-1$, men så är inte fallet för det var ingen parantes där, ändå var det rimligt att göra så. Varför då.

Sen går man vidare till följande:

$e^{2x} \frac{e^{2h}-1}{h}$

Där man konstaterar att $e^{2x}$inte påverkar gränsvärdet någonting så det kan man bara faktorisera ut. Okej. Varför påverkar det inte gränsvärdet? 

Dkcre skrev:

Är bara intresserad av att förstå något fullt ut. Klarar jag det inte på en tillfredställande nivå låter jag det hellre vara. Finner det ständigt oerhört besvärligt att förstå det mesta, vilket är drygt.

Läser i boken då dom härleder det här, vilket inte är lika med att förstå det, men det är en början.

Dom skriver för e^2x:

 $$\begin{gathered} \frac{e^{2(x+h)} -e^{2x}}{h} = \frac{e^{2x} * e^{2x} - e^{2x}}{h} \\ \frac{e^{2x} (e^{2h} - 1)}{h} \end{gathered}$$

Så i sista steget där så flyttar man ut faktorn e^2x ifrån uttrycket som om det stod $e^{2x} ( e^{2h} -e^{2x})$

för att få $e^{2h}-1$, men så är inte fallet för det var ingen parantes där, ändå var det rimligt att göra så. Varför då.

Om du har skrivit av korrekt, så är det en felskrivning i boken/sajten.

Sen går man vidare till följande:

$e^{2x} \frac{e^{2h}-1}{h}$

Där man konstaterar att $e^{2x}$inte påverkar gränsvärdet någonting så det kan man bara faktorisera ut. Okej. Varför påverkar det inte gränsvärdet? 

Faktorn e^2x innehåller ingenting som beror på h. Därför påverkas inte gränsvärdet.

Om man bryter ned vilken bas som helst enligt: $\underset{h\to \infty }{\lim }\frac{ x^{h }-1}{h}$

Så får man ett värde som är en proportionskonstant för den basen för derivatan för funktionen $a^x$.

Om man gör såhär med alla baser och gör en funktion av det så kommer man att kunna hitta ett värde där en viss bas får värdet 1 på y axeln, det måste ju helt enkelt finnas något värde där det infaller sig så. Man kan då se att det här värdet är konstanten e i funktionen f(x) = ln(X).

Sen varför det då därifrån är logiskt att e upphöjt till dessa konstanter är likvärdigt med baserna för dessa konstanter förstår jag inte. Så det är så långt jag förstår.

Man bryter ned alla tal i minimala beståndsdelar och får då ett värde, och det tal som får värdet 1 är basen för alla andra tal.. om e är det tal där derivatan är i direkt proportion till sin funktion, så betyder det att e upphöjt till något är lika med basen där detta upphöjt till är den basens proportionskonstant av någon anledning. Åhhhh

 $$\begin{gathered} x^{0.69} = 2 \\ {\left(x^{0.69}\right)}^{1.45} = 2^{1.45} \end{gathered}$$

Jag har lite svårt att hänga med I dina tankegångar.

Är du med på att derivatan av $e^{2x}$

per definition är lika med

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{2(x+h)}-e^{2x}}{h}=$

$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{2x}\cdot e^{2h}-e^{2x}}{h}=$

$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{2x}(e^{2h}-1)}{h}=$

$=e^{2x}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{2h}-1}{h}$?

Ja.

Alltså, jag kan härma stegen.

Men nu har jag fastnat i hur man kan resonera sig fram till hur 

$e^{\left(\frac{a^h-1}{h}\right)} =a$

Utifrån att:

$\underset{h\to 0}{\lim } \frac{e^h-1}{h} = 1$

Känns som att det måste vara fullt begripligt först

De där likheterna stämmer inte. Varifrån kommer den första? I den andra ska du låta h gå mot 0, inte oändligheten, och det borde stå e^h-1, inte e^h-1.

Om h går mot noll i exponenten i första uttrycket, och vi sätter in a = 2 exempelvis blir det ju 0.69, vilket är ln(2). Men jag uttrycker det säkert felaktigt på något sätt.

Nej, det var lite slarvfel där. Rättade dem.

(a^h-1)/h går mot ln(a) när h går mot 0, så din första likhet stämmer om du har med att h går mot 0.

Man kan visa det t.ex. genom att skriva a^h som e^ln(a)*h. Då blir uttrycket (e^ln(a)*h-1)/h = ln(a)*(e^ln(a)*h-1)/(h*ln(a)), och vi kan låta h*ln(a) heta k, som också går mot 0.

Okej. Jag förstår inte riktigt.

Men tack för alla svar