Dugga (Chalmers) 2015 uppgift 5

Hejsan, jag har suttit lite med den här uppgiften och vet inte riktigt hur man bör gå till väga för att komma fram till att det inte finns några reella lösningar.

Så här har jag tänkt hittills:

X måste ligga mellan 2 och -3 för att rotuttrycket ska vara definierat, men då rotuttrycket och x/2 ej bådadera kan bli noll försvinner alla icke-negativa x (rotuttrycket ska bli positivt och x/2 negativt för att få 0); vi får intervallet 0>x>-3. Sedan kommer jag inte riktigt mycket längre, det verkar inte fungera att lösa uppgiften algebraiskt då en tredjegradekvation utan reella rötter fås (x^3+3x^2+4x-8=0).

Rätt svar ska bli d.

Uppgiften:

Mitt försök:

Tack på förhand.

Ett alternativ är att räkna.

$\dfrac{2-x}{x+3} =\dfrac{x^2}{4}$

$4(2-x)=(x+3)x^2$

$x^3+3x^2+4x-8 = 0$

Vi ser att $x = 1$ är nu en rot till ekvationen (Notera att vi själva intorducera denna falska roten eftersom den inte löser ursprungsekvationen.

poldiv get nu att $\dfrac{x^3+3x^2+4x-8}{x-1}=x^2+4x+8$

Diskriminanten kräven nu att $(\dfrac{p}{2})^2-q \geq 0$ .

$4-8 <>$ ger att ekvationen saknar reella lösningar. Svaret är därför D.

Jag tror att du skrivit fel på tredjegradsekvationen f(x). Det ska väl vara:

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 8$

Om du deriverar f(x) så får du:

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 4$

Man kan visa att f(x) alltid är växande, genom att f'(x) har inga nollställen och är positiv t.ex. för x=0.
Sen kan man visa att f(x) vid områdets gränser är på samma sida om 0 så det finns inget nollställe i området.

Mega7853 skrev:
Jag tror att du skrivit fel på tredjegradsekvationen f(x). Det ska väl vara:

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 4 x - 8$

Om du deriverar f(x) så får du:

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 4$

Man kan visa att f(x) alltid är växande, genom att f'(x) har inga nollställen och är positiv t.ex. för x=0.
Sen kan man visa att f(x) vid områdets gränser är på samma sida om 0 så det finns inget nollställe i området.

Japp, jag skrev fel.

Jag hade förmodat a priori att funktionen saknade reella rötter och försökte därför inte att gissa rötter.

Jag lyckades iallafall lösa uppgiften genom båda metoderna.

Jag undrar dock, går det verkligen att sätta f(x) i uttrycket med tanke på att vi har 0 i HL?

Men tack så mycket för hjälpen!

Jag undrar dock, går det verkligen att sätta f(x) i uttrycket med tanke på att vi har 0 i HL?

Vad menar du? Visst kan man skapa ekvationen f(x) = 0 för vilken ekvation man vill och sedan undersöka funktionen.

Jag menar att vi utgår från en funktion med 0 i hl och sätter f(x) för att sedan derivera, vi har

x^3+3x^2+4x-8=0.

Om $f'(x)$ saknar nollställen så existerar det inga extrempunkter.

Vi vet då att eftersom $f'(x)$ inte går att lösa eftersom diskriminanten är negativ så måste $f'(x)$ antigen vara växande hela tiden eller så måste den vara avtagande.

Vi tar vilket x-värde som helst (ta helst något enkelt) som x = 0. Vi får då att $f'(0)=4$ .

Vi vet nu att $f'(x)$ alltid är växande men om $f'(x)$ alltid är växande vad har detta för konsekvenser för $f(x)$ ?

Ah, då förstår jag, tack!

Svara

Visa senaste svar