Dugga 2019 Uppgift 19

Låt kateterna ha längderna a och b. Då gäller det att

a² + b² = 4

$\cos \alpha$ = a/2

$\sin \alpha$ = b/2

1 - ab/2 = (a - b)/2.

Tillägg: 10 apr 2022 03:10

Tillägg: 10 apr 2022 15:41

Vi får

4 - 2ab = 2(a-b). Vi utnyttjar att a² +  b² = 4.

a² + b² - 2ab = 2(a-b)

(a-b)² = 2(a-b)

(a-b)(a-b-2) = 0 => a = b.

a²+b² = 4 och a = b ger

2a² = 4 => a = $\sqrt{2}$.

Arean = ab/2 = $\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}=1$.

PATENTERAMERA skrev:

Låt kateterna ha längderna a och b. Då gäller det att

a² + b² = 4

$\cos \alpha$ = a/2

$\sin \alpha$ = b/2

1 - ab/2 = (a - b)/2.

---

Tillägg: 10 apr 2022 03:10

Visa spoiler

Multiplicera den sista ekvationen med 4 och utnyttja den översta ekvationen.

 

Tack så mycket, men vilken sista ekvation är det du menar?

1 - ab/2 = (a - b)/2

1 - sin2α = cos²α - 2sinα*cosα + sin²α = (cosα - sinα)² = cosα - sinα

Förlåt mig, men jag förstår inte riktigt hur man ska komma vidare från detta:

Du vet att a² + b² = 4, så du kan byta ut 4:an i din sista ekvation mot a² + b² så att du får 

a² + b² -2ab = 2(a - b), kvadreringsregeln

(a - b)² = 2(a - b)

(a - b)(a - b - 2) = 0, som ger a = b.

Tack så mycket! Jag uppskattar hjälpen väldigt mycket.