Dugga 2021 uppgift 10

Utmärkt början! Vilka tecken har sinus och cosinus här? Är de positiva eller negativa? Det kan påverka vårt slutresultat sedan.

Därefter: Vi kan skriva om tangensuttrycket som $\sin \left(\alpha \right)=2\cos \left(\alpha \right)$, och med hjälp av trigettan kan vi då få att 

$$\begin{gathered} 1=(2\cos {\left(\alpha \right))}^2+\cos {\left(\alpha \right)}^{2}1=5{\cos }^2(\alpha \left) \\ {\cos }^2\right(\alpha )=\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Insättning i $2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)$ ger oss att $2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)=2·2\cos \left(\alpha \right)·\cos \left(\alpha \right)=4{\cos }^2\left(\alpha \right)$. 

Smutstvätt skrev:

Utmärkt början! Vilka tecken har sinus och cosinus här? Är de positiva eller negativa? Det kan påverka vårt slutresultat sedan.

Därefter: Vi kan skriva om tangensuttrycket som $\sin \left(\alpha \right)=2\cos \left(\alpha \right)$, och med hjälp av trigettan kan vi då få att 

$$\begin{gathered} 1=(2\cos {\left(\alpha \right))}^2+\cos {\left(\alpha \right)}^{2}1=5{\cos }^2(\alpha \left) \\ {\cos }^2\right(\alpha )=\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Insättning i $2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)$ ger oss att $2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)=2·2\cos \left(\alpha \right)·\cos \left(\alpha \right)=4{\cos }^2\left(\alpha \right)$. 

Oj jag hänger ej med i dina algebraiska uttryck.. Det gick väldigt fort om du ursäkter mig. Vi får ta babystep från botten tack! :)  hade varit smart om jag ej fick se hur man löser den stegvis utan få tips och så får jag kämpa själv tills jag får något rimligt resultat. 

Ingen fara! Så, vi har fått att $\tan \left(\alpha \right)=2$, vilket du har skrivit om till $\frac{\sin \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)}=2$. Dessutom har du skrivit om $\sin \left(2\alpha \right)$ till $2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)$, båda helt korrekta omskrivningar. 

Vi behöver veta vad $\sin \left(\alpha \right)$ och $\cos \left(\alpha \right)$ är, för att kunna beräkna värdet av $\sin \left(2\alpha \right)$. Det första vi kan göra är att skriva om tangensbråket till $\sin \left(\alpha \right)=2\cos \left(\alpha \right)$. 

Använd denna likhet för att förenkla $2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)$. :)

Tänkt dig en triangel så får du fram svaret, då tangens är positivt måste cos och sin ha samma tecken och 2sincos därmed blir positivt:

Redigering: Glömde bild

Christ.E skrev:

Tänkt dig en triangel så får du fram svaret, då tangens är positivt måste cos och sin ha samma tecken och 2sincos därmed blir positivt:

Redigering: Glömde bild

Hur fick du roten ur 5? Jag kom på att jag aldrig räknade ut något ännu.. Men gud vad dum jag är. Man kunde bara tänka att om ena sinalfa=2 och då cosalfa=1 i form av en triangel. Sen kan man med hjälp av Pythagoras få ut hypotenusan 

Men värdet på sin2alfa måste då ligga första kvadranten eller typ 3 kvadranten ? 

Mahiya99 skrev:

har någon tips på hur jag ska tänka på en sån uppgift? Jag skrev tanalfa som sinalfa/cosalfa =2 och sedan sin2alfa som 2sinalfacosalfa 

tan(x) = 2

sin(x)/cos(x) = 2

2cos(x) = sin(x)

2sin(x)cos(x) = (sin(x))(2cos(x)) = sin(2x) = 2(2cos(x))cos(x)

a=sin(2x), b = sin(x), c = 2cos(x)

a = sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = sin(x)(2cos(x)) = bc

Och om sin(x) = 2cos(x) betyder det att b=c, så vi ersätter b med c i bc och får att

• sin(2x) = sin²(x). 

Så vi använder pythagoras identitet från sin²x + cos²x = 1, så 1-cos²x = sin²x. 

Så vi går tillbaka till ekvationen och får sin(2x) = 1-cos²(x).

Så från

• sin²x + cos²x = 1

och att

• sin(x) = 2cos(x)

får vi att

• sin²x = (2cos(x))² = 4cos²x.

4cos²x + cos²x = 1

5cos²x = 1

cos²x = 1/5

Från pythagoras identitet får vi att 1-sin²x = 1/5, flyttar -sin²x till höger sida och 1/5 till vänster sida och får:

1-1/5 = sin²x 

4/5 = sin²x = sin(2x)

Så svar b).

Jag skulle rita (förstås!). Om $\tan\alpha=2$ så motsvarar det linjen y = 2x. Den lutar mer än k = 1, d v s mer än 45^o, men mindre än 90^o. Om man dubblar vinkeln $\alpha$ kommer den att bli större än 90^o men mindre än 180^o, d v s man hamnar i andra kvadranten. I andra kvadranten är cosinus (x-värdet) negativt och sinus (y-värdet) positivt.

Det är förstås också möjligt att man väljer vinkeln $\alpha$ så att man hamnar i tredje kvadranten, och i så fall hamnar $2\alpha$ ändå i andra kvadranten.

Mahiya99 skrev:

Men värdet på sin2alfa måste då ligga första kvadranten eller typ 3 kvadranten ? 

Pythagoras sats, tangens ger oss att sidorna ska vara 1 och 2, så sqrt(1^2+2^2)=sqrt(5)

Mahiya99 skrev:

Christ.E skrev:

Tänkt dig en triangel så får du fram svaret, då tangens är positivt måste cos och sin ha samma tecken och 2sincos därmed blir positivt:

Redigering: Glömde bild

Hur fick du roten ur 5? Jag kom på att jag aldrig räknade ut något ännu.. Men gud vad dum jag är. Man kunde bara tänka att om ena sinalfa=2 och då cosalfa=1 i form av en triangel. Sen kan man med hjälp av Pythagoras få ut hypotenusan 

Pythagoras sats, tangens ger oss en triangel med sida 2 (opposite of angle) och 1 (adjacent of angle) då tan=opposite/adjacent=2/1