dubbletter och tripletter kombinatorik
Något som hindrar mig från att lösa många problem är att dubbletter kommer med i mitt svar när jag löser problemen. Jag förstår inte hur det kan bli så, samt hur man kan få bort dessa? Till exempel om vi har bokstäverna KKKYYY och vi ska beräkna antalet möjliga ord. Då tänker jag att bokstäverna kan ordnas på 6! olika sätt, det vill säga det finns 6! möjliga ord. Men det blir fel
Prova med ett mindre exempel. Ta KKY. Hur många ord beräknar du det till? Skriv upp dem.
KKY
KYK
YKK
Och om du använder din formel?
3! = 6 vilket är för mycket eftersom det bara finns 3 ord
theg0d321 skrev:KKY
KYK
YKK
Men om vi skiljer på K och k blir det verkligen 3! olika ord
KkY och kKY
KYk och kYK
YKk och YkK
Så det blir 3! ord om alla bokstäver är olika. Förstår dock fortfarande inte hur man ska räkna sig fram till att det blir 3 ord
I ditt ursprungliga problem kan du börja med att placera alla K. Sedan är du klar, för alla andra platser ska ha Y. Hur många sätt finns det att placera tre likadana saker på sex platser?
6*5*4= 120 sätt?
Hur många sätt får du i så fall om du tittar på det mindre exemplet KKY och placerar de två K:na först?
theg0d321 skrev:Så det blir 3! ord om alla bokstäver är olika. Förstår dock fortfarande inte hur man ska räkna sig fram till att det blir 3 ord
Inom "gruppen" YKK finns orden YKk och YkK. Var och en av dina "grupper" innehåller två av mina ord.
Inom varje "grupp" får man se hur många möjligheter man har att placera sina K olika. De möjligheterna ser ju likadana ut, när alla K ser likadana ut. Hur många möjligheter har man då? Jo 2! = 2*1 möjligheter.
På samma sätt kan man i ditt ursprungliga exempel KKKYYY tänka sig en "grupp" där man kan flytta runt tre stycken K på 3! = 3*2*1 sätt utan att det syns någon skillnad. För var och en av de 6 möjligheterna kan man flytta runt tre stycken Y på 3! = 3*2*1 sätt utan att det syns någon skillnad.
"Gruppen" YYKYKK kan alltså möbleras om på 36 olika sätt, utan att man ser någon skillnad. Skulle alla bokstäver t.ex. ha olika färger, så skulle man se en tydlig skillnad.
Svaret på din ursprungliga fråga blir 6! / (3! * 3!) = 720/36 = 20
Okej jag tror att jag börjar förstå nu. Om man tänker sig ett möjligt ord av bokstäverna K,K,K,Y,Y,Y , exempelvis KKKYYY, så kan K:na inbördes ordnas på 3! sätt. För varje sådant sätt kan Y:na ordnas på 3! sätt. Multiplikationsprincipen säger då att vi kan skapa 3!*3! ord som ser likadana ut som ordet vi hade från början, nämligen KKKYYY. Då har vi alltså kommit fram till att ordet KKKYYY förekommer 3!*3! gånger för mycket (detta är nog dåligt formulerat av mig men aja). Detta betyder alltså att varje ord som görs med bokstäverna K,K,K,Y,Y,Y förekommer med en faktor 3!*3!
Om x = (antalet ord som kan bildas av bokstäverna K,K,K,Y,Y,Y) så får vi att
Var det så du menade Bubo?
Exakt.
