Dubbleintegral — Analys (2) (Matematik/Universitet)

Du kan gå över till polära koordinater. Men du kan utnyttja den symmetri som finns också.

Många frågor här :)

Kan man gå till polära koord. när man vill? Funkar det alltid när man har disk som integralyta?

Hur utnyttjar man symmetrin? I det här avsnittet ska man beräkna uppgifterna utan att använda polära koordinater :) Men berätta gärna om tankesättet :)

Nja, att integrera mellan -2 och 2 map på båda variablerna betyder att du integrerar över kvadraten där både x och y är mellan -2 och 2. Exempelvis är punkten (2,2) inkluderad i de gränserna, men den uppfyller ju inte kravet. Så y:s gräns beror på x, vilken är den du redan fått given. x däremot kan du integrera mellan -2 och 2 :)

Hondel skrev:
Nja, att integrera mellan -2 och 2 map på båda variablerna betyder att du integrerar över kvadraten där både x och y är mellan -2 och 2. Exempelvis är punkten (2,2) inkluderad i de gränserna, men den uppfyller ju inte kravet. Så y:s gräns beror på x, vilken är den du redan fått given. x däremot kan du integrera mellan -2 och 2 :)

Okej, förstår nu att det blir en kvadrat nu :) men jag la ett pi utanför min integral faktiskt, men jag antar att det också är fel? Sitter helt lost ändå :(

Dela upp i två. $\int_{D} \int x d A$ + $\int_{D} \int 3 d A$ = 0 + 3(Area of D). Den första blir noll för att området D är symmetriskt kring y-axeln.

Polära koordinater kan vara bra vid exempelvis cirkulära områden, vilket underlättar beskrivningen av området (exempelvis en hel cirkel (vi kan ta enhetscirkeln) i $\mathbb{R}$ kan lätt parametriseras med $x=rcos(\theta)$ och $y=rsin(\theta)$ , och gränserna blir ju då $0\leq r \leq 1$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ , är du med på varför?).

Har du ritat ut området? Om inte, gör det (och lägg in en bild här)!

Vart mer specifikt är du helt lost?

Angående symmetrin så har du 2 integraler, en med integranden 3 och en med integranden $x$ . $x$ är en udda funktion över ett symmetriskt intervall, vilket gör att den bidrar lika mycket på båda sidor om $y$ -axeln, men med olika tecken, så den integralen är 0. Sen har du kvar $\iint_{D} 3 dA = 3\iint_{D}dA = 3\cdot$ Area(halv cirkeln) = ...

Polära koordinater kan vara bra vid exempelvis cirkulära områden, vilket underlättar beskrivningen av området (exempelvis en hel cirkel (vi kan ta enhetscirkeln) i Rℝ kan lätt parametriseras med x=rcos(θ)x=rcos(θ) och y=rsin(θ)y=rsin(θ), och gränserna blir ju då 0≤r≤10≤r≤1, 0≤θ≤2π0≤θ≤2π, är du med på varför?).

Jag förstår intervallen och byten, men inte varför man ska göra så. Infogar bild nedan:

Dela upp i två. ∫D∫xdA∫D∫xdA + ∫D∫3dA∫D∫3dA = 0 + 3(Area of D). Den första blir noll för att området D är symmetriskt kring y-axeln.

Tack! Jag tror att jag förstod hur man gör nu. Jag har svårt för flervariabeln för att jag tror att man inte får göra som i envariabel och så :(

EDIT: Har jag fått rätt svar? Jag har tyvärr inte facit till jämna uppgifter i Calculus boken :/

EDIT2: Jag förstår fortfarande inte hur integranden x blir 0. Skulle någon kunna förklara? Gärna geometriskt :)

Du ser ut att ha rätt svar med $6\pi$ .

Att integralen av $x$ över ett symmetriskt intervall har att göra med symmetri kring y-axeln. Föreställ dig funktionen $x$ i xy-planet, (rekommenderar att rita upp det själv). Om du föreställer dig integralen av den kommer detta alltid vara arean mellan funktionen och x-axeln, kan då lätt räknas ut med x och y värden. Ta t.ex. integralen över $[-1,1]$ . Om du ritar ut denna integral så kommer du se att du får 2 trianglar, en under x-axeln och en ovanför, båda är exakt lika stora. Den totala integralen är summan av arean av dessa trianglar. Eftersom en av trianglarna är under x-axeln så kommer den ha en "negativ" area, och eftersom båda är likadana så kommer totala integralen vara 0.

Det här specifika fallet demonstrerar att funktionen är s.k. Udda, om du inte har talat om detta än så kommer du säkert att få höra om det senare.

Bara för att förtydliga, du måste inte veta detta för att lösa uppgiften, om du beräknar integralen $\int_{- 1}^{1} x d x$ på det vanliga viset så kommer du fram till samma sak.

Svaret är korrekt ( $6\pi$ ). Anledning till varför vi skulle göra koordinat bytet är att det är enkelt att integrera med dom gränserna! I $r,\theta$ -planet så beskrivs området av en rektangel ( $0 \leq r \leq 2, 0 \leq \theta \leq \pi$ ). Jämför själv integralerna:

1. $\iint_{D}(x+3)\mathrm{d}A = \int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi} \left(r\cos{\theta}+3\right)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}r$

2. $\iint_{D}(x+3)\mathrm{d}A = \int_{-2}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} \left(x+3\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

I 1. så kan du använda Fubinis sats och helt enkelt beräkna den genom att multiplicera ihop integralerna och få:

$\int_{0}^{2}r\mathrm{d}r \cdot \int_{0}^{\pi}\cos{\theta}\mathrm{d}\theta = ...$ .

Vilken räknar du helst själv? :)

EDIT: Glömde 3an i Fubinis sats ovan, men det är bara en till dubbelintegral med integranden 3 och samma gränser.

Tack så mycket allihopa!!