Dubblavinkel
Hej
jag håller på med en uppgift där vi ska lösa (Sin2v=sinv). I boken har de skrivit om ekvationen till (2sinv cosv=sinv). Jag har letat lite på nätet men förstår inte riktigt hur och varför de har gjort så.
Hej!
När man löser trigonometriska ekvationer är det ofta svårt att se vilka omskrivningar som är bra att göra på förhand, så en bra metod är ofta att prova sig fram bland de omskrivningar man kan komma på, och se om någon av dem förenklar ekvationen. Efterhand som man löser fler uppgifter, blir man bättre på att se vilka omskrivningar som är smarta att göra.
I det här fallet har de valt att skriva om sin(2v) till 2sin(v)cos(v). Det kan du alltid göra, det står säkert i din formelsamling och är ett specialfall av sin(u+v)=sin(u)cos(v)+sin(v)cos(u). Anledningen är, som jag är inne på ovan, att det gör ekvationen enklare, eftersom du kan förkorta med sin(v) efteråt (men det är alltså inte uppenbart från den ursprungliga ekvationen att det skulle göra livet enklare för dig)
Formeln för dubbla vinkeln sin(2v) = 2sin(v)cos(v) är en standardformel som står i din formelsamling. Man kan härleda den från additionsformeln för sinus sin (u+v) = sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v) genom att sätta in u = v.
Man har gjort det för att kunna skriva om ekvationen på ett sätt som gör det enklare att lösa ekvationen.
sin(2v) = sin(v)
2sin(v)cos(v) = sin(v)
2sin(v)cos(v)-sin(v) = 0
sin(v)(2cos(v)-1) = 0
Här kan du använda nollproduktmetoden och lösa två enkla ekvationer för att få fram samtliga lösningar till den ursprungliga ekvationen.
Om du behöver mer hjälp, så visa hur långt du har kommit och fråga igen.
haraldfreij skrev:... eftersom du kan förkorta med sin(v) efteråt ...
Nej, om du gör det missar du lösningen sin(v)=0.
@joculator: Ok, det borde jag naturligtvis skrivit ut explicit.
När man dividerar i en ekvation man håller på att lösa ska man ALLTID fundera på om det man dividerar med kan vara lika med noll - om det kan det ska man behandla det fallet separat.
Jätte bra förklaring tack ska ni ha.
Det finns en annan metod att lösa den här typen av uppgifter, den är inte lättare men fungerar mer generellt, alltså om siffrorna inte är så snälla som i vårt exempel.
Sin(2v)=sin(v)
Säg att det istället stått sin(3v)=sin(5v), det kanske är överkurs på gymnasienivå?, men i vilket fall fungerar nedanstående metod.
För enkelhets skull visar jag på exemplet Sin(2v)=sin(v)
Eftersom sin funktionen är periodisk med perioden 2pi och att sin(x) = sin(pi-x) gäller att
Sin(2v)=sin(v+2npi) och att Sin(2v)=sin(pi-v+2npi)
Vi kan ta arcsin på bägge led och får då följande ekvationer:
Ekv 1. 2v = v+2npi
Ekv2. 2v = pi-v+2npi
ekv 1 ger att v = 2npi
Förenkla ekv 2: 3v = pi +2npi ; dela med 3 i bägge led
v = pi/3 +2npi/3 (pi/3, pi och -pi/3)
Lösningen kan sammanfattas till
v1 = npi
v2,3 = +- pi/3 +2npi/3
