Dubbla vinkeln (Matematik/Matte 4)

Det är korrekt hittils. Vidare kan du addera och cos²x till varje led vilket ger dig den trigonometriska etta i VL. Därefter kan du stryka 1 i HL och VL samt skriva om allt till VL. Slutligen faktoriserar du ut termer och använder dig av nollproduktsmetoden för att bestämma lösningen

Ett alternativ är att du skriver uttrycket i VL som $\sqrt{2} \sin (2 x - \frac{π}{4})$ , sen dela du båda leden med $\sqrt{2}$ .

Man kan också kvadrera bägge led, vilket enkelt leder fram till ett resultat

Är det såhär ni menar? Att 1 + cos^2 x = sin^2 x. Tas allting annat bort från vänsterledet p.g.a trigettan.

hur tar man sedan sig vidare? Genom att ta roten ur på båda sidor?

Du har fått lite olika förslag på lösningar, du kan testa alla och se vilken som du tycker är enklast.

Min lösning är att du adderar med cos²x igen på VL och HL för att få trigettan i VL (kom ihåg att trigettan är sin²x + cos²x = 1). Sedan stryker du 1 på båda sidor och därefter subtraherar med 2cos²x på båda sidor för att få 0 i HL. Slutligen faktoriserar du ut 2cosx och använder dig av nollproduktsmetoden, dvs cosx=0 eller sinx-cos=0

Okej. Men om vi utgår från det jag skrev i förgående inlägg.
för det första är allt det korrekt? Alltså att om man adderar cos^2 (x) på båda sidorna så blir det det som står längst ner i föregående inlägg?

om vi då utgår därifrån om jag har rätt så blir det väl 1 + 2cos^2 (x) = 1 ?

gör jag rätt änsålänge?

1+cos²x är inte sin²x

Däremot är cos²x+sin²x=1 (trigettan) vilket medför att 1+cos²x = 2-sin²x

Aha så nu har jag 1 + cos^2 (x) = 2 - sin^2 (x)

vad är nästa steg här? Att få cos och sin på en sida och konstanterna på en annan?

Du har nog gjort något konstigt på vägen,

Om du adderar sin²(x) på bägge sidor får du efter förenkling (trig ettan)

1+1 = 2, vilket i och för sig är sant, men säger inget om värdet på x...

Jag mest tänkte på vad Calle sa. Såhär ser allting ut. Har jag gjort något fel på vägen?

Du har fått

2sin(x)cos(x)+sin²(x) = 1+cos²(x)

om du nu gör som CAlle_K förslår, dvs addera cos^2 på bägge sidor får du

2sin(x)cos(x)+sin²(x) +cos²(x) = 1+2cos²(x)

som förenklat blir

2sin(x)cos(x)+1 = 1+2cos²(x)

och efter ytterligare förenkling

sin(x)cos(x)-cos²(x) = 0

kan du fortsätta härifrån?

Aha okej

såhär om jag förstår det rätt?

men saken är att jag inte riktigt förstår hur jag ska få fram x utifrån detta. Har svårt för det känns det dom. För vi har ju inga konstanter utan bara massa sinus å cosinus. Hur går jag till väga?

Ja, det var så jag skrev, hur går du vidare härifrån?

Ja nej men det är de jag menade men jag förstår ej hur man ska få reda på x härifrån? Jag kommer väl ingenstans utan att ha konstanter eller?

jodå, det går att lösa men du måste skriva om lite till

Bryt ut cos(x) i vänsterledet, sen kan du använda nollproduktmetoden för att komma vidare

Så jag ska dividera med cos x på båda sidorna för att få sin x - cos^2 (x) = 0 ?

Nej, du ska bryta ut cos.

Ungefär som

Ab+bc blir

b(A+c) när du bryter ut b.

Aha oj ja.

cos x (sin x - cos x ) = 0

Detta känns väl rätt. Eller har jag missat en cos?

Japp, böra att lösa vidare!

Om cos x = 0 så är väl x = 100 grader

men hur gör jag med sin x - cos x ?

Nu får du repetera standardvinklar,

cos(x) = 0 gäller inte för x = 100 grader, utan 90 grader, dessutom ska du ha med periodiciteten!

I matte 4 har vi lämnat grader och använder oss som standard av radianer istället.

sin(x)-cos(x) = 0

Som sagt var, kolla på standardvinklar eller titta i enhetscirkeln.

Väldigt mycket jag inte förstår där tyvärr. Så cos 0 = 90 grader. Alltså pi / 2. Är det dä du menar.

sen sin(x) - cos (x) = 0 och hur jag ska se det i standard vinklar eller enhetscirkeln förstår jag inte alls.

Tvärtom

Cos(90)=0

Sin-cos =0

Samma som sin(x) = cos(x)

Aha ja självklart. Så

x1 = 90 grader eller ska man kanske skriva 90 + N * 360

sen x2 då med sin x = cos x. Vid vilket x värde gäller det?

Som jag sa, titra i enhetscirkeln eller i din formelsamling

Tror jag har listat ut det nu. Att sin x = cos x vid 45 grader.
men även vid 225 grader då båda blir negativt där.

Då har jag

x1 = 90

x2 = 45

x3 = 225

Man ska ju bara lösa ekvationen. Ska man verkligen har så många x - värden?

plommonjuice87 skrev:
Tror jag har listat ut det nu. Att sin x = cos x vid 45 grader.
men även vid 225 grader då båda blir negativt där.

Då har jag

x1 = 90

x2 = 45

x3 = 225

Man ska ju bara lösa ekvationen. Ska man verkligen har så många x - värden?

Du skall ha många fler!

Är det fler x-värden då eller är det att man tar t.ex 45 + N * 360 osv?

Eller ska man kanske ta 180 grader på alla eftersom det är sin 2x och cos 2x i första frågan?

då har jag tekniskt sätt alla värden på

90 + n * 180

45 + n * 180

Dock blir 90 + 180 = 270 och sin 270 - cos 270 är inte = 1

Dock är cos(270)=0, så ekvationen stämmer likaväl :)

Tillägg: 22 feb 2023 12:23

Du ska ha 2x i din första ekvation, eftersom x=135 inte är någon lösning kan du inte stoppa in 270 i ekvationen. Däremot är x=270 en (av många) lösningar och därmed kan du se att ekvationen stämmer för 2*270=540

när man löser trig ekvationer är det klokt att ta med samtliga lösningar från början, för att sen se om det går att komprimera, Nästan alla trig ekv av typen sin(x) eller cos (x) = a har två lösningsmängder, (om a = 1 eller -1 finns det bara en lösningsmängd) !

Du hade

cos x (sin x - cos x ) = 0

Antingen är cos(x) = 0 vilket gäller för

x₁ = 90 +n*360
x₂ = 270 +n*360

eller så är parentesen = 0 vilket gäller för

x₃ = 45 + n*360
x₄ = 225 + n*360

Nästa steg är att plotta in sina lösningar i enhetscirkeln, för att se om det går att förenkla, då ser man (?) att

x₁ och x₂ går att slå ihop till 90 + n*180

samt att

x₃ och x₄ går att bunta ihop till 45 + n*180

Till sist så kontrollerar man i sin ursprungsekvation om dessa lösningar stämmer!

Ja precis. Då förstår jag tack!
när jag kollade så fungerade alla lösningen för x i ursprungsekvationen. Förutom x2 som är 270

det funkar för cos (270) = 0 men i ursprungsekvationen så är sin 270 = -1

så det blir -1 - 0 vilket inte är 1 då.

Så borde inte 90 + n * 180 inte var en korrekt lösning utan bara 90 + n * 360?

Glömde att jag skulle ta sin 2x och inte sin x 😮.

Sin 2x - cos 2x är = 1 om x är 270 grader

så slutgiltiliga svaret blir ju helt enkelt

90 + n * 180

och

45 + n * 180