Dubbelrot

Du får en dubbelrot om $x = -\frac{a}{2} \pm 0$.

Men, du kan även tänka på att ett andragradspolynom med två nollställen $x_1$ och $x_2$ kan faktoriseras till $(x-x_1)(x-x_2)$, och ett andragradspolynom med en dubbelrot $x_1$ kan faktoriseras till $(x-x_1)^2$. 

Vad måste $a$ vara så att det blir en jämn kvadrat? (Kvadreringsreglerna).

Edit: dina omskrivningar stämmer inte.

Jag förstår inte vad jag ska sätta in? eller vart?

Du har gjort fel här:

$\frac{a^2}{4}-16 \ne a^2 - 4\cdot 16$

Hur ska jag göra/tänka då?

Jag kommer fortfarande inte på hur jag ska göra? :(

Om ekvationen $x^2+ax+16=0$ skall ha en dubbelrot, så krävs det att uttrycket under rottecknet har värdet 0, d v s att $(\frac{a}{2})^2=16$. För vilka värden på a är detta sant?

Du blandar ihop två olika saker. När man löser en ekvation kan man göra omskrivningar som funkar för att man gör samma sak på båda sidor om likhetstecknet, med hela VL och hela HL.

1. Detta är rätt:

$$\begin{gathered} \frac{a^2}{4}-16=0 \\ 4*\frac{{\displaystyle a^2}}{{\displaystyle 4}}-4*16=4*0 \\ {a}^2-64=0 \end{gathered}$$

2. Men detta är fel:

$\frac{a^2}{4}-16=4*\frac{{\displaystyle a^2}}{{\displaystyle 4}}-4*16=a^2-64$

3. I stället måste du ställa ditt uttryck på ett gemensamt bråkstreck, så här:

$\frac{a^2}{4}-16=\frac{{\displaystyle a^2}}{{\displaystyle 4}}-\frac{4*16}{4}=\frac{a^2-4*16}{4}=\frac{a^2-64}{4}$

Sätt 1 funkar för att vi vet från ekvationen att uttrycket i VL blir 0. I 2 och 3 vet vi inte det. Pröva att sätta in olika värden för a så ser du att det blir fel i 2 men inte i 3.

om a = 8 blir det ${\left(\frac{8^{}}{2}\right)}^2 ={ }^{4^2 = 16}$ ? 

 Nu blev det snurrigt! Jag behöver alltså inte använda PQ-formeln?

Jo det ska du göra, men mitt inlägg handlade mest om vad som blev fel i din uträkning när du använde pq-formeln.

För att en andragradsekvation ska ha en dubbelrot ska det som står under rottecknet i pq-formeln vara lika med 0. Plocka bara ut det, sätt det lika med 0 och lös den ekvationen. Om du tycker det är krångligt, så gör inga omskrivningar under rottecknet alls. Sätt bara $(\frac{a}{2}{)}^2-16=0$ och lös ekvationen.

Men det är när jag står precis där, det som du skrev nu som jag fastnar och inte vet vad jag ska göra längre? När kan jag ta bort roten ur?

$$\begin{gathered} \sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2 - 16 } \\ \sqrt{\frac{a^2}{4} - 16} \\ \frac{a^2}{4} - 16 = 0 \\ 4 *a^{2 }- 16 = 0 \\ {4}^{2 } - 16 = 0 \end{gathered}$$

Nu är jag lite osäker på vad du mest vill ha hjälp med? Att lösa ekvationen $(\frac{a}{2}{)}^2-16=0$ eller att förstå varför det är den ekvationen du ska lösa?

Jag vill ha hjälp med att lösa ekvationen, men det kan lätt snurra ihop sig för mig så jag tar det från början:

För vilka/vilka värden på a har ekvationen x2 + ax + 16 = 0 en dubbelrot?

$$\begin{gathered} x^2 + ax + 16 = 0 \\ x = \frac{a}{2} \pm \sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2-16} \\ x = \frac{a}{2} \pm \sqrt{\frac{a^2}{4} - 16} \\ Nu vet jag inte vad nästa steg är? \end{gathered}$$

Du får en dubbelrot om det som står under rottecknet är 0. Därför är nästa steg att plocka ut det som står där, sätta det till 0 och lösa ekvationen.

$\frac{a^2}{4}-16=0$

Man kan lösa en sådan här ekvation på flera sätt. Det går att använda pq-formeln, men jag rycker det är onödigt krångligt. Jag gör så här i stället:

$$\begin{gathered} \frac{a^2}{4}-16=0 \\ {a}^2-64=0 \\ {a}^2=64 \\ a=\pm \sqrt{64}=\pm 8 \end{gathered}$$

Ser det bekant ut?

Jag förstår allt du gjorde där och den är alltså löst där? Så svaret är $a =\pm \sqrt{64} = \pm 8$

Men det är okej att "plocka ut ekvationen ur roten tecknet bara så? :)

I det här fallet så har du kommit fram till frågan "Vad ska a vara för att det som står under rottecknet ska vara 0?". Då är det okej att "plocka ut" det som står under rottecknet för att svara på den frågan!

Om det är rätt sak att göra i andra fall beror ju på vilken fråga du ska svara på.

Okej! Tack så mycket för hjälpen :)

Lite förtydliganden:
Blir värdet under rottecknet noll så har vi en enkelrot dvs. kurvan når x-axeln, men korsar den inte.
Blir värdet under rottecknet större än noll så korsar kurvan x-axeln och vi har en dubbelrot.
Blir värdet under rottecknet mindre än noll så varken når eller korsar kurvan x-axeln och då saknar vi rötter.

I det här fallet så har vi $\frac{a^2}{4}-16$ under rottecknet och vi vill veta när det blir noll.
Då kan vi skriva det $\frac{a^2}{4}-\frac{16\times 4}{4}=0$ och sedan $\frac{a^2-16\times 4}{4}=0$ vilket ger $a^2=16\times 4$

slutligen $a=\pm \sqrt{16\times 4}$ och $a=\pm 8$

Vilket man sedan kan testa i ekvationen $x^2+ax+16=0$ 
Ritar vi kurvan på grafräknaren så ser vi att $\pm 8$ ger en kurva som når X-axeln. Alltså en enkelrot.
Så rätt svar på frågan är att för a < -8 och a > 8 så har ekvationen en dubbelrot.

ConnyN skrev :

Lite förtydliganden:
Blir värdet under rottecknet noll så har vi en enkelrot dvs. kurvan når x-axeln, men korsar den inte.
Blir värdet under rottecknet större än noll så korsar kurvan x-axeln och vi har en dubbelrot.
Blir värdet under rottecknet mindre än noll så varken når eller korsar kurvan x-axeln och då saknar vi rötter.

I det här fallet så har vi $\frac{a^2}{4}-16$ under rottecknet och vi vill veta när det blir noll.
Då kan vi skriva det $\frac{a^2}{4}-\frac{16\times 4}{4}=0$ och sedan $\frac{a^2-16\times 4}{4}=0$ vilket ger $a^2=16\times 4$

slutligen $a=\pm \sqrt{16\times 4}$ och $a=\pm 8$

Vilket man sedan kan testa i ekvationen $x^2+ax+16=0$ 
Ritar vi kurvan på grafräknaren så ser vi att $\pm 8$ ger en kurva som når X-axeln. Alltså en enkelrot.
Så rätt svar på frågan är att för a < -8 och a > 8 så har ekvationen en dubbelrot.

Det här är helt fel. Om det är 0 under rottecknet är det en dubbelrot, d v s kurvan går ner (eller upp) till 0 och vänder där, man har alltså två likadana rötter. Om det är positivt under rottecknet ha man två olika reella enkelrötter. Är det negativt under rottecknet finns det inga reella rötter (men det finns två komplexarötter, en andragradsekvation har alltid två rötter). Ekvationen har dubbelrötter om a = 8 eller a = -8.

Jag svarade $a = \pm 8$ är det rätt då Smaragdalena? :)

Ja, det är rätt.

Jaha ja jag får be om ursäkt för det. Jag har tydligen blandat ihop nollställen och rötter.
Det var inte bra. Jag borde givetvis ha läst på innan jag skrev.

Om man kan ersätta min text enkelrot med ett nollställe och dubbelrot med två nollställen så skulle det vara mer korrekt.

Svaret jag skrev är givetvis fel eftersom man frågade efter dubbelrot.