Förtydliga rad i formelblad

ytrewq skrev:

Jag bökar vidare med mitt formelblad. 

Bra! Att känna till sitt formelblad kan hjälpa dig enormt mycket framöver.

En rad som jag blir osäker på är denna: 

Om jag förstår det rätt så innebär det att om det är en faktor k som multipliceras med f(x), så behålls faktorn under deriveringen. 

Det stämmer.

Vad exakt detta f(x) innebär i detta sammanhang är jag osäker på.

Beteckningen f(x) betyder att f är en funktion av x.

Det verkar som att det innebär någon form av uttryck som innehåller variabeln x?

Ja, så är det vanligtvis (exempel f(x) = 2x, f(x) =3x²+6 o.s.v).

Nen det kan även vara så att f(x) inte beror av x, som t.ex. I f(x) = 11.

I en annan av mina trådar så gavs ett exempel: derivera y = 5*x+3*$\mathrm{\pi }$. I term 1 så kan "x" betraktas som en f(x), dvs faktorn 5 behålls under deriveringen (y´(t1)=1*5*$x^0$)

I term 2 kan dock inte π betraktas som en f(x). Är detta för att det inte finns något x där? Det betyder iaf att faktorn k som är 3 inte behålls under deriveringen (och inte heller π som är en helt vanlig konstant). Dvs y´(t2)=0

Du kan se hela uttrycket 5x+3pi som en funktion av x, dvs f(x) = 5x+3pi.

Detta är en summa av två termer där första termen beror av x och den andra är en konstant som inte beror av x.

Generellt sett gäller att derivatan av en summa av termer är lika med summan av termernas derivator.

I det här fallet är derivatan av den första termen 5x lika med 5 och derivatan av den andra termen 3pi lika med 0.

Derivatan av 5x+3pi är därför lika med 5+0 = 0.

Drt är precis detta som raden under den gulmarkerade betyder.

Det verkar som att det innebär någon form av uttryck som innehåller variabeln x?
Ja, så är det vanligtvis (exempel f(x) = 2x, f(x) =3x2+6 o.s.v).

Nen det kan även vara så att f(x) inte beror av x, som t.ex. I f(x) = 11.

Hmm, kanske jobbig fråga, men är det möjligt att ge något exempel på en f(x) eller en f(x)-term som inte innehåller en x-variabel, men där den orangea linjen från mitt formelblad ändå gäller? Dvs där konstanten k behålls, trots att det inte finns något x i den delen av uttrycket

Du kan se hela uttrycket 5x+3pi som en funktion av x, dvs f(x) = 5x+3pi.

Detta är en summa av två termer där första termen beror av x och den andra är en konstant som inte beror av x.

I den andra tråden där exempeluttrycket gavs (av dig, faktiskt!) så använde sig en annan av samma uttryckssätt. Där "något beror av x". Jag gissar att det betyder att värdet på x påverkar det som beror på x? 

ytrewq skrev:

Hmm, kanske jobbig fråga, men är det möjligt att ge något exempel på en f(x) eller en f(x)-term som inte innehåller en x-variabel, men där den orangea linjen från mitt formelblad ändå gäller? Dvs där konstanten k behålls, trots att det inte finns något x i den delen av uttrycket

Ja, ta t.ex. f(x) = 4.

Derivatan av f(x) är lika med derivatan av 4, vilket är lika med 0.

Vi har då att derivatan av k*f(x) är lika med k*f'(x), vilket är lika med k*0, vilket är lika med 0.

I den andra tråden där exempeluttrycket gavs (av dig, faktiskt!) så använde sig en annan av samma uttryckssätt. Där "något beror av x". Jag gissar att det betyder att värdet på x påverkar det som beror på x? 

Att ett uttryck är en funktion av x är inte samma sak som att uttrycket beror av x.

Vi kan mycket väl ha en funktion av x som inte beror av x, t.ex. f(x) = 4. Denna funktions värde påverkas alltså inte av värdet av x.

En funktion av x vars värde faktiskt påverkas av vördet på x är t.ex. g(x) = 3x.

Okej, tack!

Alltså hmm. Känner mig verkligen trög med detta. Men hur skulle du definiera vad f(x) innebär i just den orangea raden? Liksom, hur ska man veta vilka delar i ett uttryck som motsvarar just f(x)? Och då således även veta när eventuella faktorer k framför ska behållas. 

Tänker tex när π i 3*π inte motsvarar f(x). Men där x i 5*x motsvarar f(x). Hur vet man detta?

Ofta slarvar man och säger att det som beror av x är en funktion av x, medan det som inte beror av x inte är en funktion av x.

f(x) = 3x kallar man en funktion av x, medan man ibland felaktigt säger att f(x) = 3pi inte är en funktion av x.

Yngve har förklarat det helt korrekt.

Derivatan av något som inte beror av x, derivatan av en konstant, blir alltid noll. Det betyder att just när man beräknar derivatan spelar det ingen roll om man tar med konstanten eller inte.

Derivatan av f(x) = 3x och derivatan av g(x) = 3x + 42 är precis lika, nämligen f'(x) = g'(x) = 3

Jag är inte säker på att jag svarar på din fråga, men hoppas att det hjälpte lite, i alla fall.

Tack för ditt inlägg! Du skriver att derivatan av en konstant som inte beror av x blir noll. Betyder det att derivatan av en konstant som beror av x stannar kvar efter deriveringen? Dvs att det är så man identifierar när den orangea raden i formelbladet blir applicerbar

(kanske borde sova på saken innan jag ställer fler frågor...) 

ytrewq skrev:

Tack för ditt inlägg! Du skriver att derivatan av en konstant som inte beror av x blir noll. Betyder det att derivatan av en konstant som beror av x stannar kvar efter deriveringen? Dvs att det är så man identifierar när den orangea raden i formelbladet blir applicerbar

Om ett uttryck är konstant så beror det inte av x, dvs det konstanta uttryckets värde påverkas inte av x.

Därför finns det ingen "konstant som beror av x".

Derivatan av alla möjliga konstanter och alla möjliga konstanta uttryck är alltid lika med 0.

Du borde kanske titta på ett exempel för att det ska bli enklare att förstå.

Den orangea raden syftar på att:

3 · f(x) där f(x)=x²

får derivatan

3 · f'(x)

= 3 · 2x

= 6x

Förstår du?

Hej!

Ja det exemplet förstår jag! Tror dock jag förstår det endast för att du skriver ut vilken del som är = f(x)

I andra exempel så står det väl inte explicit vilken del som motsvarar f(x), och jag förstår inte hur man ska kunna klura ut det i så fall. Om vi tex ska derivera f(x)=$5x^2$, så har jag trott att vi använder den orangea raden och av någon anledning tolkar att $x^2$ motsvarar en slags f(x) och därför stannar 5:an kvar. För 5:an är ju en konstant, och som du Yngre skrev nyss så är derivatan av alla möjliga konstanter 0. Så jag förstår inte varför 5:an stannar kvar under deriveringen, om det inte är pga att den omfattas av den orangea raden och således ska behållas...??

Det här har ingen större praktisk betydelse när man deriverar en funktion.

Man kan tänka att derivatan av 5*sin(x) blir fem gånger så mycket som derivatan av sin(x), eller att den blir dubbelt så mycket som derivatan av 2.5*sin(x). Slutresultatet blir detsamma i alla fall.

Längre fram kanske du får lösa problem i stil med att f'(x) = 3*g'(x), och då ser du direkt att en lösning skulle kunna vara att g(x) = f(x)/3. Ifall du får fram f(x) hittar du lätt g(x).

En annan typ av problem (mycket vanligt!) är att du får veta derivatan och ska lista ut funktionen. Ifall derivatan f'(x) är 4x vet du att funktionen skulle kunna vara f(x) = 2x². Men nu vet du också att funktionen skulle kunna vara f(x) = 2x² + 4 eller f(x) = 2x² + 42 eller helt enkelt f(x) = 2x² + C för vilken konstant C som helst.

ytrewq skrev:

[...] För 5:an är ju en konstant, och som du Yngre skrev nyss så är derivatan av alla möjliga konstanter 0. Så jag förstår inte varför 5:an stannar kvar under deriveringen, om det inte är pga att den omfattas av den orangea raden och således ska behållas...??

Ja, den omfattas av den orangea raden.

Jag visar ett exempel så kanske det klarnar:

Säg att vi vill derivera funktionen f(x) = 3x²+7x+11

Eftersom x¹ = x och x⁰ = 1 så kan vi skriva detta som f(x) = 3*x²+7*x¹+11*x⁰

Om vi nu sätter u(x) = x², v(x) = x¹ och w(x) = x⁰ så kan funktionen skrivas f(x) = 3*u(x)+7*v(x)+11*w(x)

Detta är alltså en summa av tre funktioner, som var och en har en konstant koefficient framför sig.

Nu använder vi den understa raden för att derivera f(x):

f'(x) = (3*u(x))' + (7*v(x))' + (11*w(x))'

Här använder jag skrivsättet (3*u(x))' för att beteckna derivatan av 3*u(x). Och samma sak för de övriga två termerna.

Med hjälp av den orangea raden så får vi nu att

• (3*u(x))' = 3*u'(x) = 3*2x = 6x, eftersom u'(x) = 2x.
• (7*v(x))' = 7*v'(x) = 7*1 = 7, eftersom v'(x) = 1
• (11*w(x))' = 11*w'(x) = 11*0 = 0, eftersom w'(x) = 0

Sammantaget får vi att f'(x) = 6x+7

=====

Den orangea raden säger alltså att konstanter som multipliceras med en funktion inte förändras av att hela uttrycket deriveras.

Tack snälla för att du är så tålmodig!

Jag gjorde samma uträkning nu och det kändes bättre att skriva om på det sättet så att man löper hela linan ut med samtliga. Jag fick samma svar som dig genom att använda den orangea linjen. 

Så, det handlar om att behålla konstanter som multipliceras med en funktion. Denna funktion innehåller alltsom oftast ett x, men inte nödvändigtvis.

Nu känns det plötsligt som att den orangea raden går att applicera nästan alltid? Eller lite mer precist: i alla fall där det är en konstant k som multipliceras med vad som helst annat. För typ allt går att definiera som en funktion, om man vill? Det enda är att när man applicerar den orangea raden på en funktion som inte innehåller något x från början så blir resultatet 0, och således blir det lite "onödigt" att göra.

Låter det som att jag har förstått det hela rätt?

Ja, det låter som att du har förstått det rätt.

Räkna en massa uppgifter och hojta till så fort du stöter på något där din metod inte verkar fungera.

=========

Du kommer förhoppningsvis snart att kunna hoppa över den formella biten att först skriva om termer termer ax som a*x¹ och termer b som b*x⁰.

 Och istället derivera dem direkt:

• Derivatan av ax är a
• Derivatan av b är 0

Ja, det låter bra! Tror det passar mig att nöta in reglerna från grunden. Och så får jag hojta till om jag fastnar på en uppgift relaterat till detta.

Tack för all din hjälp! :)