Dubbelintergral

Se över ditt variabelbyte

$$\begin{gathered} 2\pi {\int }_0^{\infty }\frac{r}{{(1+r^2)}^a}dr \\ Gör variabelbytet att 1+r^2=u \\ r= 0 ger att u = 1 \\ Då r\stackrel{}{\to \infty så gäller det att u\stackrel{}{\to }\infty } \\ Din integral övergår i \\ \mathrm{\pi }{\int }_1^{\infty }\frac{1}{{\mathrm{u}}^{\mathrm{a}}}d\mathrm{u} \mathrm{som} \mathrm{är} \mathrm{konvergent} \mathrm{då} \mathrm{a} >1 \\ \mathrm{Klarar} \mathrm{du} \mathrm{av} \mathrm{att} \mathrm{lösa} \mathrm{vidare} \mathrm{nu}? \end{gathered}$$

Greenberg skrev:

Se över ditt variabelbyte

$$\begin{gathered} 2\pi {\int }_0^{\infty }\frac{r}{{(1+r^2)}^a}dr \\ Gör variabelbytet att 1+r^2=u \\ r= 0 ger att u = 1 \\ Då r\stackrel{}{\to \infty så gäller det att u\stackrel{}{\to }\infty } \\ Din integral övergår i \\ \mathrm{\pi }{\int }_1^{\infty }\frac{1}{{\mathrm{u}}^{\mathrm{a}}}d\mathrm{u} \mathrm{som} \mathrm{är} \mathrm{konvergent} \mathrm{då} \mathrm{a} >1 \\ \mathrm{Klarar} \mathrm{du} \mathrm{av} \mathrm{att} \mathrm{lösa} \mathrm{vidare} \mathrm{nu}? \end{gathered}$$

Har upptäckt flera fel jag gjort bla satt in grändserna i a när de skulle in i u. MEN varför behöver jag inte undersöka a<0 samt 0<a<1 etc?

Förmodligen har din bok ett helt kapitel om generaliserade integraler. Där borde de presentera en variant av följande:

$\displaystyle \int_1^\infty \frac{ \mathrm{d}x}{x^a}$ är konvergent om $a>1$ och divergent om $a\leq1$.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bevis: För $a=1$ gäller att $\displaystyle \int_1^R\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln(R)\to \infty$ då $R\to \infty$. Således divergent.

För $a\neq 1$ gäller (då $R\to \infty$)

$\displaystyle \int_1^R x^{-a}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{1-a}(R^{1-a}-1)\to \left\{\begin{matrix} \frac{1}{a-1},&a>1\\\infty ,& a<1\end{matrix} \right.$

Alltså är integralen konvergent med värdet $\frac{1}{a-1}$ om $a>1$ och divergent om $a\leq1$.