Dubbelintegrering av begränsat område

Hej, har varit fast på denna uppgift ett tag nu!

Beräkna $\int \int_{D} \frac{1}{648} x y^{2} d x d y$

där $D$ är det begränsade område i högra halvplanet som innesluts av cirkeln $x^{2} + y^{2} = 72$ och kurvan $y^{2} = 6 x$ .

Jag har plottat upp området och antar att det är det gulmarkerade område som skall beräknas.

Börjar med att ta fram polära koordinater:

$\{\begin{array}{l} x = r \cdot \cos (θ) \\ y = r \cdot \sin (θ) \end{array}, E : \{\begin{cases} 0 \leq r \leq 6 \sqrt{2} \\ - \frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{4} \end{cases} \Rightarrow \int \int_{E} \frac{1}{648} \cdot r \cdot \cos (θ) \cdot r^{2} \cdot \sin^{2} (θ) \cdot |\frac{d (x, y)}{d (r, θ)}| d r d θ$

$|\frac{d (x, y)}{d (r, θ)}| = |\begin{matrix} x^{'} r & x^{'} θ \\ y^{'} r & y^{'} θ \end{matrix}| = r$

$\Rightarrow \int \int_{E} \frac{1}{648} \cdot r^{4} \cdot \cos (θ) \cdot \sin^{2} (θ) d r d θ$

$\frac{1}{648} (\int_{0}^{6 \sqrt{2}} r^{4} d r) (\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \cos (θ) \cdot \sin^{2} (θ) d θ) = \frac{16}{5}$

Detta blir fel, är det någon som vet hur man ska gå tillväga? Mina värden för $r$ och $θ$ har jag fått från plottning, så vet ej om dessa är korrekt.

Du har beräknat en dubbelintegral över E, som inte verkar motsvara det gula området, utan en bara en cirkelsektor med radien 6sqr(2) ooch medelpunktsvinkeln pi/2. Det gula området är ju lite större, eftersom det begränsas av en parabelbåge.

Tomten skrev:
Du har beräknat en dubbelintegral över E, som inte verkar motsvara det gula området, utan en bara en cirkelsektor med radien 6sqr(2) ooch medelpunktsvinkeln pi/2. Det gula området är ju lite större, eftersom det begränsas av en parabelbåge.

Nu ser jag! Jag antar att jag har räknat enligt bilden

Har du några tips på hur jag kan gå tillväga för att beräkna hela det önskade området?

Skippa variabelbytet och hitta integrationsområdet "som vanligt". I y-led integrerar du mellan -6 och 6. Vad får du för gränser i x-led?

cjan1122 skrev:
Skippa variabelbytet och hitta integrationsområdet "som vanligt". I y-led integrerar du mellan -6 och 6. Vad får du för gränser i x-led?

Jag löste det!

Den undre gränsen var $x = \frac{y^{2}}{6}$ och den övre är $x = \sqrt{72 - y^{2}}$

Med $- 6 \leq y \leq 6$ och $\frac{y^{2}}{6} \leq x \leq \sqrt{72 - y^{2}}$ blev integralen:

$\frac{1}{648} \int_{- 6}^{6} y^{2} d y \cdot \int_{\frac{y^{2}}{6}}^{\sqrt{72 - y^{2}}} x d x$

tillslut blev detta $\frac{136}{35}$

Används inte polära koordinater när ytterligare en kurva skär området?

Svara

Visa senaste svar