Dubbelintegralvet

Jag stannar redan efter första raden. Var skär y=x² och y=1 varandra?

Sen kan du inte göra faktoriseringen som du gjort i nästa steg heller, eftersom integrationsgränserna för den ena variabeln beror på den andra variabeln.

Integrationsordningen kräver alltid lite eftertanke.

Jag skulle resonera så här: För fixt x mellan 0 och 1 , varierar y mellan x^2 och 1. (Du har valt att låta x variera för fixt y)

Anm du har fel x-gräns. Skärning mellan y=1 och y=x^2.

Ytterligare lite input:

Du väljer själv om du ska integrera m.a.p. x först, eller y. Ibland blir räknandet mycket enklare i ena riktningen, så det är värt att kolla andra hållet om det ser ut att bli snårigt. Om du tar y först, då går den (som sagts) från kurvan x^2 till 1. Men i den yttre integralen är allt y-beroende redan klart, så x kan du integrera från områdets lägsta till största x, som att det inte fanns någon störig kurva alls. Integralen blir då

$\displaystyle\int_0^1\int_{x^2}^1 \frac{x}{1+y^2}dydx$

Den andra varianten är att ta x först. Då går x från 0 tills den slår i andragradskurvan. Men vad är x där det händer? Jo, om $y = x^2$, så är $x = \sqrt{y}$ (eller $-\sqrt{y}$, men som din bild visar är vi ju i första kvadranten, x måste vara positivt). Så det är den inre integralens övre gräns. När vi sen ska integrera m.a.p. y är allt x-beroende klart, så då integrerar vi från områdets lägsta till största y-värde:

$\displaystyle\int_0^1\int_0^{\sqrt{y}} \frac{x}{1+y^2}dxdy$

Prova gärna att räkna båda integraler. De har samma värde, men de är olika svåra att beräkna. 

Skaft skrev:

Ytterligare lite input:

Du väljer själv om du ska integrera m.a.p. x först, eller y. Ibland blir räknandet mycket enklare i ena riktningen, så det är värt att kolla andra hållet om det ser ut att bli snårigt. Om du tar y först, då går den (som sagts) från kurvan x^2 till 1. Men i den yttre integralen är allt y-beroende redan klart, så x kan du integrera från områdets lägsta till största x, som att det inte fanns någon störig kurva alls. Integralen blir då

$\displaystyle\int_0^1\int_{x^2}^1 \frac{x}{1+y^2}dydx$

Den andra varianten är att ta x först. Då går x från 0 tills den slår i andragradskurvan. Men vad är x där det händer? Jo, om $y = x^2$, så är $x = \sqrt{y}$ (eller $-\sqrt{y}$, men som din bild visar är vi ju i första kvadranten, x måste vara positivt). Så det är den inre integralens övre gräns. När vi sen ska integrera m.a.p. y är allt x-beroende klart, så då integrerar vi från områdets lägsta till största y-värde:

$\displaystyle\int_0^1\int_0^{\sqrt{y}} \frac{x}{1+y^2}dxdy$

Prova gärna att räkna båda integraler. De har samma värde, men de är olika svåra att beräkna. 

Tack!! Gjorde om och gjorde rätt  😊🙏

Wow, bra där! Men det var inte det lätta sättet att lösa den integralen :D jag tycker verkligen du ska prova mitt andra förslag också, det borde gå snabbare.