Dubbelintegraler med variabelsubstitution

Det som sticker ut för mig är andra bilden, när du partial integrerar och ska integrera sin^2(theta).  Det är en partiell integration i sig, ty sin(theta)*sin(theta), så det blir inte -2cos(theta). Använd dig av omskrivningen för sin^2(theta) = 1/2 - 1/2cos(2theta), då har du integrand som inte är en produkt av funktioner och då kan du direkt integrera. Annars ser det bra ut. 

tjbzz skrev:

Det som sticker ut för mig är andra bilden, när du partial integrerar och ska integrera sin^2(theta).  Det är en partiell integration i sig, ty sin(theta)*sin(theta), så det blir inte -2cos(theta). Använd dig av omskrivningen för sin^2(theta) = 1/2 - 1/2cos(2theta), då har du integrand som inte är en produkt av funktioner och då kan du direkt integrera. Annars ser det bra ut. 

Ja men nu vet jag ej hur vi ska gå vidare

Jag skulle utnyttja att cosx är likt derivatan av sin²x.

Laguna skrev:

Jag skulle utnyttja att cosx är likt derivatan av sin²x.

Jag vet ej vad du menar laguna? Jag försöker använda variabelsubstitution men jag är jätte fast.

Sätt sinx = t i den första integralen.

Laguna skrev:

Sätt sinx = t i den första integralen.

Okej och sen då?

Gör som du brukar med substitutioner, ta hand om $d\theta$.

Men jag tycker dessutom att den blir 0 pga symmetri.

Laguna skrev:

Gör som du brukar med substitutioner, ta hand om $d\theta$.

Men jag tycker dessutom att den blir 0 pga symmetri.

Jag försökte på det sättet men det funkar ej. Och 0 är inte godkänd svar enligt hemsidan. 

Du behöver inte införa en ny variabel u till. Men differentiera t på samma sätt.

Laguna skrev:

Du behöver inte införa en ny variabel u till. Men differentiera t på samma sätt.

Jag hänger ej med på dina tankar här. Ska jag köra partiell integration??

Vad är $\frac{dt}{d\theta}$?

Laguna skrev:

Vad är $\frac{dt}{d\theta}$?

Jag använde partiell integration och såhär fick jag. Men den godkänner ändå ej.

Jag går tillbaka till din första substitution: den är bra, men theta ska inte gå från 0 till 2$\pi$. Området ligger bara i första kvadranten.

Laguna skrev:

Jag går tillbaka till din första substitution: den är bra, men theta ska inte gå från 0 till 2$\pi$. Området ligger bara i första kvadranten.

Ja juste pga y är större eller lika med 0. Men då är gränserna från 0 till pi/2 för theta? Nu vet jag ej vilken substitution du menar. Om det är den här t=sinx menar du?

Substitutionen i din fråga, högst upp.

Laguna skrev:

Substitutionen i din fråga, högst upp.

Jag är klar med substitutionen med dr. Vi är på substitutionen för dtheta där jag frågar dig om det är mellan 0 och pi/2? Men du svarade ej på den frågan så jag vet ej vad som känns fel här. Jag ändrade gränserna enbart för var vinkeln då vi är i första kvadranten. Det jag gjorde var att  först integrera med avseende på dr. Den delen är det väl inget fel på.

På din senaste bild har du både t och $\theta$ kvar efter substitutionen. Det ska bara vara t kvar.

$\theta$ ska gå från 0 till $\pi/2$, ja.

Laguna skrev:

På din senaste bild har du både t och $\theta$ kvar efter substitutionen. Det ska bara vara t kvar.

$\theta$ ska gå från 0 till $\pi/2$, ja.

Okej. Då har jag bytt ut allt mot t nu. Nu har vi ingen theta. Antar att det var så du menade.  Är detta korrekt? Hemsidan godkänner ej detta svar multiplicerat integral värdet vi fick ut med dr integrering.

Hur går det?

Vad gör du på andra raden? Visa fler steg.

Ett fel är att t inte ska gå mellan 0 och $\pi/2$, det är $\theta$ som gör det.

Laguna skrev:

Vad gör du på andra raden? Visa fler steg.

Ett fel är att t inte ska gå mellan 0 och $\pi/2$, det är $\theta$ som gör det.

Andra raden gör jag partiell integration då vi har cosv*t^2.  Har inga fler steg än det jag visade i min bild i #19. Nähä okej om vi sätter t(0)=sin0=0 och t(pi/2)=sin(pi/2)=1. Då har t gränserna 0 til 1 eller? 

t  går från 0 till 1, ja.

Du behöver inte göra partiell integrering. Jag föreslog en enklare metod.

Laguna skrev:

t  går från 0 till 1, ja.

Du behöver inte göra partiell integrering. Jag föreslog en enklare metod.

Nähä okej jag vet ej vad för metod du föreslog än att substituera sin med t. Du sa ingenting om att göra något med cos och du vet att cos(v)*t^2 går ej att integrera såvida man ej delar upp dessa integrander så man integrerar cosv med avseende på dv och t^2 med avseende på dt eller partiell integration. Om ej partiell integration så vet jag ej vad för metod du har i tankarna. Hur som helst jag valde att integrera cosv med avseende på v och fick ut en integral värde där samt t^2 med avseende på t och fick ut ett värde där med. Se bild nedan.

När man har ett uttryck med t.ex. x i som ska integreras och vill göra en substitution som förenklar uttrycket, med t.ex. y, så ska alla x försvinna så att man har kvar bara ett uttryck med y. Det inbegriper också dx, som man får fram genom att differentiera sambandet mellan x och y.

Jag föreslog redan att du skulle derivera $t = \sin(\theta)$.

Laguna skrev:

När man har ett uttryck med t.ex. x i som ska integreras och vill göra en substitution som förenklar uttrycket, med t.ex. y, så ska alla x försvinna så att man har kvar bara ett uttryck med y. Det inbegriper också dx, som man får fram genom att differentiera sambandet mellan x och y.

Jag föreslog redan att du skulle derivera $t = \sin(\theta)$.

Jag tror du är ute efter variabelsubstitution om jag förstår dig rätt. Isåfall har vi detta nedan.