Dubbelintegraler flervar.

Jag är inte helt med på vad du gör.

För

$\int r\ln(1 + r^2)dr$

så prova substitutionen 

$t=1+r^2$

Hej!

Din partiella integration stämmer inte.

Notera att $r = \frac{1}{2}\frac{d}{dr}(1+r^2)$ så integralen kan skrivas

    $\displaystyle\int r\ln(1+r^2)dr = \int \frac{1}{2}\ln(1+r^2)d(1+r^2).$

Sedan ger partiell integration att $\int 1 \cdot \ln x dx =x\ln x - x$ så att din integral blir 

    $\displaystyle\frac{1}{2}\int \ln(1+r^2)d(1+r^2) = \frac{1}{2}(1+r^2)\ln(1+r^2)-\frac{1}{2}(1+r^2).$

Det ger dubbelintegralen

    $\pi \cdot (3\ln3-3-2\ln2+2)=\pi\cdot(\ln27 - \ln 4 - 1) = \pi(\ln\frac{27}{4}-1).$