Dubbelintegraler flervar.

Jag har inte beräknat integralen, men att integrera m.a.p x först verkar klokt. Har du ritat upp området D? Vilka integrationsgränser får du om du vill integrera m.a.p x först?

Jag kom precis på det! Jag skriver om gränserna: För x: 0 till y^0.5

För y: 0 till 1

Och då gick det fint 😁

Hej!

Jag föreslår att du integrerar såhär.

    $\displaystyle\int_{x=0}^{1}x\cdot\left\{\int_{y=x^2}^{1}\frac{1}{1+y^2}dy\right\}dx=\int_{0}^{1}x\cdot(\frac{\pi}{4}-\arctan(x^2))dx$

Albiki skrev:

Hej!

Jag föreslår att du integrerar såhär.

    $\displaystyle\int_{x=0}^{1}x\cdot\left\{\int_{y=x^2}^{1}\frac{1}{1+y^2}dy\right\}dx = \int_{x=0}^{1}x\cdot (\frac{\pi}{4}-\arctan x^2)dx.$

Integralen är lika med

    $\displaystyle\frac{\pi}{8}-\int_{0}^{1}x\arctan(x^2)dx.$

Partiell integration ger

    $\displaystyle\int x\arctan (x^2)dx=\frac{x^2}{2}\arctan(x^2)-\frac{1}{4}\ln(1+x^4)$

så att den sökta integralen blir lika med $\frac{1}{4}\ln 2$.

Hur får du ut att övre gränsen för dx är 1?

$x^2\le y\le 1, x\ge 0$

$x^2\le 1 \Rightarrow x \le 1?$

sprite111 skrev:

Hur får du ut att övre gränsen för dx är 1?

 

$x^2\le y\le 1, x\ge 0$

$x^2\le 1 \Rightarrow x \le 1?$

 Om du ritar upp området D, ser du att D är begränsad av x=1, eftersom att annars skulle det inte gälla att $y\le x^2$.

Just ja, man kan ju rita upp området! =)

Tack