Dubbelintegraler

Beräkna dubbelintegralen $\int \int \frac{\ln (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} d x d y$ inom området $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 3$ .

Jag tänker att området ligger mellan två cirklar, mellan radien 1 och $\sqrt{3}$ . Eftersom att det handlar om cirklar gör jag om till polära koordinater $x = r \cos ϕ y = r \sin θ$ . $d x d y$ blir då också till $r d r d θ$ . De nya intervallen blir då väl $1 \leq r \leq \sqrt{3}$ för radien och $0 \leq θ \leq 2 π$ där området gäller hela cirklar. Nu ersätter jag x och y i funktionen med dessa polära koordinater.

$\int \int \frac{\ln (r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ)}{(r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ)} r d r d θ = \int \int \frac{\ln (r^{2})}{(r^{2})} r d r d θ$

Det jag nu inte förstår är, hur ska jag räkna integralen för $θ$ med intervallet $0 \leq θ \leq 2 π$ ? Jag kan väl bara räkna integralen för radien nu?

Integranden beror ju inte på vinkeln $\theta$ . Därför kan du beräkna integralen med avseende på $\theta$ separat:

$\displaystyle\int_0^{2\pi}\int_1^\sqrt{3}\frac{\ln(r^2)}{r^2}\cdot r\ drd\theta=\int_0^{2\pi}\ \ d\theta\int_1^\sqrt{3}\frac{\ln(r^2)}{r}\ dr=2\pi\int_1^\sqrt{3}\frac{\ln(r^2)}{r}\ dr$

Denna kvarvarande integral kan beräknas genom att först använda en logaritmlag och sedan substituera $u=\ln(r)$ .

$\int_{a}^{b} d x = \int_{a}^{b} 1 d x$

Svara