Dubbelintegraler

Hej, jag skulle uppskatta hjälp med hur jag kan lösa nedanstående dubbelintegral över området D

och finna för vilka värden på p som integraler konvergerar, $D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 < 1\}$ . Men jag har svårt att se hur jag ska gå till väga för att lösa denna uppgift.

Min första tanke var att skriva om nämnaren till $(x^2+xy+y^2)^{2p}$ och sedan använda polära koordinater för $0<r<1$ och $0 < \theta < 2\pi$ , men när jag testade detta fastnade jag istället vid hur man ska dela upp den nya nämnaren så att alla r hamnar i integralen för $dr$ och $\theta$ i integralen för $d\theta$ .

Går det att göra på något annat sätt eller är jag på rätt väg med min omskrivning fast jag missar något på vägen? Tack på förhand!

Det borde bli r⁴ i varje term i parentesen, som man lätt kan bryta ut. Hur ser det ut i polära koordinater?

Tack för ditt svar! Som du säger får jag $(r^4+2r^4cos\theta sin\theta+r^4cos^2\theta sin^2\theta)^p$ och det är mer hur jag ska göra med p som gör att jag blir osäker. Kan man skriva $(r^4)^p(1+2cos\theta sin\theta+cos^2\theta sin^2 \theta)^p$ ?

Visst kan man det.

Men är det verkligen ett bra sätt att hantera uppgiften på eller hade du en annan omskrivning i åtanke?

Du ville separera r och theta, och nu har du gjort det. Ska 2:an framför mittermen vara där förresten?

$(x^2+xy+y^2)^{2p}=((r^2(1+\sin(\theta)\cos(\theta)))^{2p}=r^{4p}(1+\sin(\theta)\cos(\theta))^{2p}$

ty $x^2+y^2=r^2$ samt $xy=r^2\cos(\theta)\sin(\theta)$

Tack! Det var den omskrivningen jag kom fram till också, då är det alltså två integraler som jag ska lösa nu, multiplicerade med varandra, varav den en är integralen $\int_0^{2\pi} \frac{1}{(1+cos(\theta)sin(\theta))^{2p}}d\theta$ . Behöver man använda någon form av variabel substitution för att lösa detta? Kan nämligen inte hitta någon bra trigonometrisk omskrivning.

Ska du beräkna integralen eller bara avgöra för vilka p den existerar?

Laguna skrev:
Ska du beräkna integralen eller bara avgöra för vilka p den existerar?

Jag ska avgöra för vilka p den existerar. Jag tog dock för givet att man behövde beräkna integralen för att komma fram till detta?

Vad skulle kunna få din theta-integral att inte existera?

Jag tror problemet är den andra integralen.. Vad händer när r=0?

Om man _bara_ är intresserad av huruvida integralen är konvergent eller ej kan man använda följande sats

SATS: Integralen $\displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{d}r}{r^\alpha}$ är konvergent om $\alpha<>$ och divergent om $\alpha\geq 1$

Tänk på att man ska multiplicera integranden med en funktionaldeterminant $r$ om man byter till polära koordinater, dvs $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ .

Vill man göra en faktisk beräkning av integralens värde måste man först vrida och räta ut "ellipsen" för att räkningarna ska bli rimligt hanterbara.

Svara

Visa senaste svar