12 svar
191 visningar
lund 529
Postad: 14 nov 2022 15:56 Redigerad: 14 nov 2022 15:56

Dubbelintegraler

Hej, jag skulle uppskatta hjälp med hur jag kan lösa nedanstående dubbelintegral över området D

och finna för vilka värden på p som integraler konvergerar, D={(x,y)2:x2+y2<1}D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 < 1\}. Men jag har svårt att se hur jag ska gå till väga för att lösa denna uppgift.

Min första tanke var att skriva om nämnaren till (x2+xy+y2)2p(x^2+xy+y^2)^{2p} och sedan använda polära koordinater för 0<r<10<r<1 och 0<θ<2π0 < \theta < 2\pi, men när jag testade detta fastnade jag istället vid hur man ska dela upp den nya nämnaren så att alla r hamnar i integralen för drdr och θ\theta i integralen för dθd\theta

Går det att göra på något annat sätt eller är jag på rätt väg med min omskrivning fast jag missar något på vägen? Tack på förhand!

Laguna Online 30239
Postad: 14 nov 2022 19:15

Det borde bli r4 i varje term i parentesen, som man lätt kan bryta ut. Hur ser det ut i polära koordinater?

lund 529
Postad: 14 nov 2022 20:06 Redigerad: 14 nov 2022 20:15

Tack för ditt svar! Som du säger får jag (r4+2r4cosθsinθ+r4cos2θsin2θ)p(r^4+2r^4cos\theta sin\theta+r^4cos^2\theta sin^2\theta)^p och det är mer hur jag ska göra med p som gör att jag blir osäker. Kan man skriva (r4)p(1+2cosθsinθ+cos2θsin2θ)p(r^4)^p(1+2cos\theta sin\theta+cos^2\theta sin^2 \theta)^p?

Laguna Online 30239
Postad: 14 nov 2022 20:15

Visst kan man det.

lund 529
Postad: 14 nov 2022 20:16 Redigerad: 14 nov 2022 20:17

Men är det verkligen ett bra sätt att hantera uppgiften på eller hade du en annan omskrivning i åtanke? 

Laguna Online 30239
Postad: 14 nov 2022 20:52

Du ville separera r och theta, och nu har du gjort det. Ska 2:an framför mittermen vara där förresten?

D4NIEL 2883
Postad: 14 nov 2022 21:02 Redigerad: 14 nov 2022 21:03

(x2+xy+y2)2p=((r2(1+sin(θ)cos(θ)))2p=r4p(1+sin(θ)cos(θ))2p(x^2+xy+y^2)^{2p}=((r^2(1+\sin(\theta)\cos(\theta)))^{2p}=r^{4p}(1+\sin(\theta)\cos(\theta))^{2p}

ty x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 samt xy=r2cos(θ)sin(θ)xy=r^2\cos(\theta)\sin(\theta)

lund 529
Postad: 14 nov 2022 21:31 Redigerad: 14 nov 2022 21:38

Tack! Det var den omskrivningen jag kom fram till också, då är det alltså två integraler som jag ska lösa nu, multiplicerade med varandra, varav den en är integralen 02π1(1+cos(θ)sin(θ))2pdθ\int_0^{2\pi} \frac{1}{(1+cos(\theta)sin(\theta))^{2p}}d\theta. Behöver man använda någon form av variabel substitution för att lösa detta? Kan nämligen inte hitta någon bra trigonometrisk omskrivning.

Laguna Online 30239
Postad: 14 nov 2022 21:34

Ska du beräkna integralen eller bara avgöra för vilka p den existerar?

lund 529
Postad: 14 nov 2022 21:37 Redigerad: 14 nov 2022 21:38
Laguna skrev:

Ska du beräkna integralen eller bara avgöra för vilka p den existerar?

Jag ska avgöra för vilka p den existerar. Jag tog dock för givet att man behövde beräkna integralen för att komma fram till detta?

Laguna Online 30239
Postad: 14 nov 2022 21:43

Vad skulle kunna få din theta-integral att inte existera?

ormondo 10
Postad: 15 nov 2022 13:38

Jag tror problemet är den andra integralen.. Vad händer när r=0?

D4NIEL 2883
Postad: 15 nov 2022 15:03 Redigerad: 15 nov 2022 15:43

Om man _bara_ är intresserad av huruvida integralen är konvergent eller ej kan man använda följande sats

 

SATS: Integralen 01drrα\displaystyle \int_0^1 \frac{\mathrm{d}r}{r^\alpha} är konvergent om α<1\alpha<> och divergent om α1\alpha\geq 1

Tänk på att man ska multiplicera integranden med en funktionaldeterminant rr om man byter till polära koordinater, dvs dxdy=rdrdθ\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta.

Vill man göra en faktisk beräkning av integralens värde måste man först vrida och räta ut "ellipsen" för att räkningarna ska bli rimligt hanterbara.

Svara
Close