Dubbelintegralen

Min uppgift är;

$L å t D = \{(x, y) \in R^{2} : x^{2} + y^{2} < 1\} . A v g ö r f ö r v i l k a p > 0 d u b b e l i n t e g r a l e n \int \int_{D} \frac{1}{{(x^{4} + 2 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} + 2 x y^{3} + y^{4})}^{p}} d x d y ä r k o n v e r g e n t .$

(Ledning: Undersök symmetrier hos integranden för att hitta ett eller flera variabelbyten
som förenklar integralen.)

Lösning: Jag har kommit fram till genom använda polära koordinater

$\int_{0}^{1} \frac{1}{r^{3}} d r \int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{2} \sin 2 θ)}^{2}} d θ . M e n j a g v i s s t e i n t e h i t t a l ö s n i n g t i l l \int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(1 + \frac{1}{2} \sin 2 θ)}^{2}} d θ$ . Jag har provat med Wolfram och fick svar.

Kan någon hjälpa mig hur man löser detta?

Tack!

Vinkeldelen av integralen verkar aldrig ha en obegränsad integrand, så den konvergerar mot något (beroende på på p) som du inte behöver räkna ut.

Hur blir det med den radiella delen?

Fick den radiella delen

$\int_{0}^{1} r^{- 3} d r = - \frac{1}{2} .$

Shiya skrev:
Fick den radiella delen
$\int_{0}^{1} r^{- 3} d r = - \frac{1}{2} .$

Fast nu har du räknat med specialfallet $p=1$ . Du skall räkna med ett allmänt tal $p$ . Vad blir då denna integral?

Jag visste inte hur man gör. Vi hade aldrig gjort lika den.

För den radiella delen så borde du få

$\displaystyle \int_0^1 \frac{r}{r^{4p}}dr$

Vad blir den integralen?

Shiya skrev:
Jag visste inte hur man gör. Vi hade aldrig gjort lika den.

Hur fick du fram din lösning du skrev i originalinlägget i så fall?

Jag menar att vi har inte räknat med specialfallet p.

Dr. G skrev:
För den radiella delen så borde du få
$\displaystyle \int_0^1 \frac{r}{r^{4p}}dr$
Vad blir den integralen?

$\int_{0}^{1} \frac{r}{r^{4 p}} d r = \int_{0}^{1} r^{1 - 4 p} d r = \frac{1}{2 - 4 p} .$

Strunta först i gränserna. Kan den undre gränsen ge nolldivision för några p-värden?

Jag fastnade med den uppgiften. Kan någon ge råd att gå vidare ( dvs. nästa steg)

Tack på förhand!

Du har fått råd. Har du följt dem?

Smaragdalena skrev:
Du har fått råd. Har du följt dem?

Jag förstod att det behöver inte lösa integralen och bara ska avgöra vilka p>0 den är konvergent. Men jag visste inte hur man visar detta.

Vad blir

$\int r^{1-4p} dr$

Titta först utan gränser. För vilka värden på p blir det problematiskt att ha 0 som lägre gräns?

Skriv ditt dolda innehåll här

Dr. G skrev:
Vad blir
$\int r^{1-4p} dr$
?
Titta först utan gränser. För vilka värden på p blir det problematiskt att ha 0 som lägre gräns?

Det blirp> 0 blir problematiskt att ha 0 som lägre gräns.
Dvs. när p<0& p=0, blir det 1/( 2-4p) och när p>0 blir det oändligt.
Slutligen kan vi säga att det är konvergent om och endast om p=0 &p<0 ( eftersom p=0, andra integralen blir 2pi och p= -1 det blir 9pi/4).

Är det rätt?

$r^{2-4p}$

Går mot oändligheten när r går mot 0 om exponenten är negativ, d.v.s 2 - 4p < 0.

Detta förenklas till

p > 1/2.

Dr. G skrev:
$r^{2-4p}$
Går mot oändligheten när r går mot 0 om exponenten är negativ, d.v.s 2 - 4p < 0.
Detta förenklas till
p > 1/2.

Tack så mycket 😊

Svara

Visa senaste svar