Dubbelintegral1

u = 3x + 2y

v = y/x

dx*dy är du*dv delat med beloppet av basbytets jacobideterminant.

Känns det igen?

Nja, ja känner igen att

d(x,y)/d(u,v) = Jacobideterminantens absolutbelopp..

Men du menar att lika gärna kan ta d(u,v)/d(x,y)? 

Så determinanten blir $\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ \frac{-y}{x^2}& \frac{1}{x}\end{array}\right|$ --> 3/x + 2y/x^2 ?

Här har vi ju u och v direkt uttryckta i x och y. Det är då smidigt att räkna ut.

|d(u,v)/(x,y)|

Sedan har du att

|d(u,v)/(x,y)| = 1/|d(x,y)/(u,v)|

Jag får då |d(x,y)/(u,v)| = |x^2/u|

Vilket ger ${\int }_3^{6}1/u du{\int }_5^9{x}^{2}v dv$ 

Men x^2 förstör ju för mig här.. Vart går jag fel? 

Hej!

Med ditt variabelbyte transformeras integrationsområdet

    $D = \{(x,y):3\leq 3x+2y\leq 6 \text{ och } 5x\leq y \leq 9x\}$

till det rektangulära området

    $D'=\{(u,v):3\leq u \leq 6 \text{ och } 5 \leq v \leq 9\}$

och areaelementet $\text{d}x\text{d}y$ transformeras till areaelementet $|\frac{\text{d(x,y)}}{\text{d}(u,v)}|\text{d}u\text{d}v$ med funktionaldeterminanten

    $|\frac{\text{d(x,y)}}{\text{d}(u,v)}| = \left|\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{matrix}\right| = \left|\begin{matrix} \frac{1}{3} & -\frac{2u}{(3+2v)^2}\\\frac{v}{3+2v} & \frac{3u}{(3+2v)^2}\end{matrix}\right|\ .$

Albiki

Hej!

(Helt otroligt att det inte blev Error converting Blah to Blah-felmeddelande i förra inlägget!)

Funktionaldeterminanten beräknas till

    Error converting from LaTeX to MathML

vilket ger dubbelintegralen

    $\iint_{D'}\frac{1}{u} \cdot \frac{u(3+4v)}{(3+2v)^3} \,\text{d}u\text{d}v = \int_{u=3}^{6} \{ \int_{v=5}^{9}\frac{3+4v}{(3+2v)^3} \,\text{d}v\}\text{du} = 3\int_{5}^{9}\frac{3+4v}{(3+2v)^3} \,\text{d}v\ .$

Albiki

Hej!

(Det var att hoppas på för mycket förstår jag...)

En partialbråksuppdelning av integranden ger

    $\frac{3+4v}{(3+2v)^3} = \frac{A}{3+2v} + \frac{B}{(3+2v)^2} + \frac{C}{(3+2v)^3}$

(där koefficienterna återstår att bestämmas)

så att dubbelintegralen är lika med

    $\iint_{D}\frac{x}{y}\,\text{d}x\text{d}y = 1.5A \ln \frac{21}{13} + 1.5B(\frac{1}{13}-\frac{1}{21}) +1.5C(\frac{1}{13^2}-\frac{1}{21^2})\ .$

Albiki

Hänger inte helt med.. Jag lyckades(?) nu skriva om x och y som uttryck av u och v enligt:

$x=\frac{u}{3+2v} , y=\frac{vu}{3+2v}$

Min funktionaldeterminant:

$\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3+2v}& \frac{-2u}{(3+2v)^2}\\ \frac{v}{3+2v}& \frac{3u}{(3+2v)^2}\end{array}\right|$  =  $u*\frac{3+2v}{(3+2v)^3}= u*\frac{1}{(3+2v)^2}$

Dubbelintegralen får jag till: ${\iint }_{D\text{'}}u*\frac{1}{v}*\frac{1}{(3+2v{)}^2}dv du = {\int }_3^{6}u du {\int }_5^9\frac{1}{v(3+2v{)}^2}dv$ 

Svaret blir inte rätt..

Vi får olika termer längst upp till vänster i funktionsdeterminanten och det blir väl 1/v i den nya dubbelintegralen och inte 1/u. Det kan ju mycket väl vara så att jag gjort fel någonstans(omskrivningarna till x och y?)?