Dubbelintegral — svår uppgift

Eftersom termen $\frac{e^y}{y}$ är ful skulle jag börja med att integrera i x-led och sedan låta y löpa från 0 till 1.

För varje fixt $y=y_0$ ska $x$ variera från $x_t=y_0$ (den gula kurvan y=x) till $x_u=\sqrt{y_0}$ (den blå kurvan y=x^2)

$\displaystyle \int_{y=0}^1 \int_{x=y}^{\sqrt{y}}\frac{e^y}{y}x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\int_0^1(e^y-ye^y)\,\mathrm{d}y$

Jroth skrev:

Eftersom termen $\frac{e^y}{y}$ är ful skulle jag börja med att integrera i x-led och sedan låta y löpa från 0 till 1.

För varje fixt $y=y_0$ ska $x$ variera från $x_t=y_0$ (den gula kurvan y=x) till $x_u=\sqrt{y_0}$ (den blå kurvan y=x^2)

$\displaystyle \int_{y=0}^1 \int_{x=y}^{\sqrt{y}}\frac{e^y}{y}x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\int_0^1(e^y-ye^y)\,\mathrm{d}y$

Alltså, jag hänger inte med på hur du satte gränserna. Om man integrerar m.a.p x, borde man inte använda intervallsgränserna för x i detta fall!? Och samma sak för y.

Så skulle du kunna förklara hur man ska tänka generellt? Kan man t.ex använda intervallet för x och integrera m.a.p y?

För fixt y mellan 0 och 1 ska x löpa från linje till parabel,

varav  $\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\dfrac{e^y}{y}\, dy\int\limits_{y}^{\sqrt{y}}x\, dx$.

Tack för Era svar. Har testat via W.A. och de gör som följande:

Jag gjorde så här:${\int }_0^{1}xdx{\int }_{x^2}^x\frac{e^y}{y}dy$.  Är det fel?

Det är inte fel, men ger dig en komplicerad integral. Integrationsordningen kan ibland spela stor roll för hur enkel eller svår en integral blir.

Klarar du att beräkna $\displaystyle \int_{x^2}^{x}\frac{e^{y}}{y}\mathrm{d}y$?

Nej, det gör jag inte :) det var det som ställde till det egentligen :(

Har fortfarande inte förstått varför ni gör som ni gör när ni beräknar integralen :(

Vi väljer att integrera med avseende på x först, eftersom det ger en lättare integral.

Integrationsgränserna kan man hitta genom att studera mellan vilka värden x ska variera för ett fixt y.

I dr_lunds bild ovan är y-värdet för det röda horisontella linjesegmentet ungefär $y=~0.47$. Mellan vilka värden ska x variera för detta fixa värde på y?

Vad gäller för ett godtyckligt fixt y?

Tack!