Dubbelintegral som begränsas av ett område

Hej! Frågan jag försöker lösa lyder:

Beräkna integralen

$\int \int_{D} {(x - 1)}^{2} d x d y$

där D är området som ges av $x^{2} + y^{2} \leq 1$

Jag har försökt med itererat integration men det blev väldigt långt väldigt snabbt och jag var osäker på om jag överhuvudtaget valt rätt integrationsgränser. Så jag kollade på lösningsförslaget istället vilket lyder:

$\int \int_{D} {(x - 1)}^{2} d x d y = \int \int_{D} (x^{2} - 2 x + 1) d x d y = \frac{1}{2} \int \int_{D} (x^{2} + y^{2}) d x d y + π = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r^{3} d r d φ + π = \frac{5 π}{4}$

Det är specifikt omvandlingen från det andra till det tredje steget jag inte förstår, då lösningsförslaget motiverar det med "Av symmetriskäl". Jag förstår omvandlingen till r och phi dock.

Tack

Ettan i det utvecklade uttrycket ger dig arean av en cirkel, bidrag från x-et blir noll (rita en cirkel och små yttelement symmetriskt kring y-axeln, bidrag från varje sådana två tar bort varandra) och slutligen blir integralen av x², vilken är samma som integralen av y² över en cirkel med origo i mitten.

Hej och tack för svar!

Jag förstår inte riktigt vad du menar. Det med 1an tror jag att jag fattar, och det du säger att bidraget från x är 0 förstår jag nästan också. Men den sista biten om att integralen av x^2 är som integralen y^2 över en cirkel förstår jag inte riktigt.

Sen förstår jag inte hur 1/2 och pi kommer in i det tredje steget

$\iint_{D} 1 d x d y = (a r e a a v e n h e t s c i r k e l) = π$ .
$\iint_{D} 2 x d x d y = (s y m m e t r i) = 0$ .
$\iint_{D} x^{2} d x d y = (s y m m e t r i) = \iint_{D} y^{2} d x d y \Rightarrow \iint_{D} x^{2} d x d y = \frac{1}{2} \iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d x d y$ .

Hej och tack för svar! Nu förstår jag helt och hållet. Så omvandlingen görs alltså bara för att kunna göra om det till r och phi i så fall om jag förstår rätt.

Tack igen!

Svara

Visa senaste svar