4 svar
63 visningar
Ninamexx behöver inte mer hjälp
Ninamexx 18
Postad: 15 aug 2023 16:08

Dubbelintegral som begränsas av ett område

Hej! Frågan jag försöker lösa lyder:

Beräkna integralen 

D(x-1)2 dxdy

där D är området som ges av x2+y21

Jag har försökt med itererat integration men det blev väldigt långt väldigt snabbt och jag var osäker på om jag överhuvudtaget valt rätt integrationsgränser. Så jag kollade på lösningsförslaget istället vilket lyder:

D(x-1)2dxdy = D (x2  2x + 1) dxdy = 12 D(x2 + y2) dxdy + π = 12 02π01r3drdφ+π=5π4

Det är specifikt omvandlingen från det andra till det tredje steget jag inte förstår, då lösningsförslaget motiverar det med "Av symmetriskäl". Jag förstår omvandlingen till r och phi dock. 

Tack

pbg01 9
Postad: 15 aug 2023 16:38

Ettan i det utvecklade uttrycket ger dig arean av en cirkel, bidrag från x-et blir noll (rita en cirkel och små yttelement symmetriskt kring y-axeln, bidrag från varje sådana två tar bort varandra) och slutligen blir integralen av x², vilken är samma som integralen av y² över en cirkel med origo i mitten.

Ninamexx 18
Postad: 15 aug 2023 17:00 Redigerad: 15 aug 2023 17:00

Hej och tack för svar!

Jag förstår inte riktigt vad du menar. Det med 1an tror jag att jag fattar, och det du säger att bidraget från x är 0 förstår jag nästan också. Men den sista biten om att integralen av x^2 är som integralen y^2  över en cirkel förstår jag inte riktigt.

 

Sen förstår jag inte hur 1/2 och pi kommer in i det tredje steget

PATENTERAMERA 5988
Postad: 15 aug 2023 17:55

D1dxdy=(area av enhetscirkel)=π.
D2xdxdy=(symmetri)=0.
Dx2dxdy=(symmetri)=Dy2dxdyDx2dxdy=12Dx2+y2dxdy.

Ninamexx 18
Postad: 15 aug 2023 17:59

Hej och tack för svar! Nu förstår jag helt och hållet. Så omvandlingen görs alltså bara för att kunna göra om det till r och phi i så fall om jag förstår rätt.

 

Tack igen!

Svara
Close