Dubbelintegral och integrationsgränser.

Beräkna dubbelintegrallen $\int \int (10 x^{2} + 29 x y + 10 y^{2})^{2} d x d y$ i det område som begränsas av de fyra linjerna , 2x+5y=2,2x+5y=-2+5x+2y=3+5x+2y=-3.

Jag vet hur man integrerar men vill gärna hitta mina integrationsgränser bara.

Skärningspunkterna mellan varje linje :

$5 x + 2 y = - 3 5 x + 2 y = - 3 2 x + 5 y = - 2 2 x + 5 y = 2 2 x + 5 y = - 2 2 x + 5 y = 2 5 x + 2 y = 3 5 x + 2 y = 3 x = - 19 / 21 x = - 19 / 21 x = 19 / 21 x = 11 / 21 y = 16 / 21 y = 16 / 21 y = - 16 / 21 y = 4 / 21$

Har du ritat figur?

Verkar det vara upplagt för ett variabelbyte?

Välkommen till Pluggakuten!

Ditt integrationsområde begränsas av fyra linjer vars ekvationer är

$\{\begin{matrix}2x+5y = 2\\2x+5y=-2\\5x+2y=3\\5x+2y=-3\end{matrix}.$

Med variabelbytet $u = 2x+5y$ och $v = 5x+2y$ blir integrationsområdet ( $E$ ) en rektangel i $uv$ -planet.

$E = \{(u,v) : -2 \leq u \leq 2 \text{ och } -3 \leq v \leq 3\}.$

Kom ihåg att multiplicera integranden med absolutbeloppet till funktionaldeterminanten $\frac{d(u,v)}{d(x,y)}$ när du byter variabler.

Om du ritar upp området ser du att det är svårt att hitta några bra gränser i $xy$ -planet. Det kanske är lämpligare med ett variabelbyte?

Kommer du på något variabelbyte som skulle ge enkla gränser?

Dr. G skrev:
Har du ritat figur?
Verkar det vara upplagt för ett variabelbyte?

Hej tack för svar. Jag vet att man kan göra variabelbyte men jag har ännu inte gått in på det, tror du man kan lösa det genom att man stoppar in skärningspunkerna?

indhelpmathematica skrev:
Dr. G skrev:
Har du ritat figur?
Verkar det vara upplagt för ett variabelbyte?
Hej tack för svar. Jag vet att man kan göra variabelbyte men jag har ännu inte gått in på det, tror du man kan lösa det genom att man stoppar in skärningspunkerna?

Nej, det går tyvärr inte.

Däremot är uppgiften väldigt tydligt upplagd för ett variabelbyte i och med att du har $2x+5y=\text{konstant}$ och $2x+5y=\text{konstant}$ o.s.v.

Läs på om variabelbyte och Jacobideterminanten. Denna uppgift är en bra mjukstart på det området.

Om du inte vill använda variabelbyte så måste du uttrycka integranden på ett sätt som använder linjernas ekvationer (vilket är samma sak som att utföra ett variabelbyte).

Det går inte att använda parallellogrammets hörnpunkter och sätta in dem i en primitiv funktion på samma sätt som man gör när man beräknar enkelintegraler.

Albiki skrev:
Om du inte vill använda variabelbyte så måste du uttrycka integranden på ett sätt som använder linjernas ekvationer (vilket är samma sak som att utföra ett variabelbyte).
Det går inte att använda parallellogrammets hörnpunkter och sätta in dem i en primitiv funktion på samma sätt som man gör när man beräknar enkelintegraler.

Hej allihopa tack för hjälpen! Jag löste problemet med variabelsubstitution.

Om du är nyfiken så går det ju faktiskt att lösa utan variabelsubstitution om man delar upp området i flera enklare delar och integrerar områdena var för sig, men det är väldigt mycket krångligare jämfört med variabelsubstitutionen.

Svara

Visa senaste svar