Dubbelintegral med polära koordinater

Hej Kovac,

Det ser helt rätt ut fram till integrationen med avseende på $\theta$. Här tänkte jag introducera några tips. Av symmetri kommer termer som $\int \sin(\theta)=\int \cos(\theta)=\int \sin(2\theta)=0$ på intervallet $[0,2\pi]$ (den sista likheten kommer från omskrivningen $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$). Det enda som "överlever" är termen $-3r\theta$.

$\displaystyle \int_0^4 -3r[\theta]_0^{2\pi}\,\mathrm{d}r=-6\pi\int_0^4 r\,\mathrm{d}r=-6\pi[\frac{r^2}{2}]_0^4=-48\pi$

Jroth skrev:

Hej Kovac,

Det ser helt rätt ut fram till integrationen med avseende på $\theta$. Här tänkte jag introducera några tips. Av symmetri kommer termer som $\int \sin(\theta)=\int \cos(\theta)=\int \sin(2\theta)=0$ på intervallet $[0,2\pi]$ (den sista likheten kommer från omskrivningen $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$). Det enda som "överlever" är termen $-3r\theta$.

$\displaystyle \int_0^4 -3r[\theta]_0^{2\pi}\,\mathrm{d}r=-6\pi\int_0^4 r\,\mathrm{d}r=-6\pi[\frac{r^2}{2}]_0^4=-48\pi$

Tack för tipset, då är jag med. Men vad gör jag för fel i min integrering? Är det den sista termen som blir fel? Tänkte att u=sin theta, dtheta = du/cos och då tas cos ut och kvar blir thetasin theta /2 då $\int u =\frac{u^2}{2} ?$

eller är det att d theta = du/cos theta?

Det blir det sistnämnda, dvs

$u=\sin(\theta)$

$du=\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta$

Vilket ger att att integralen

$\displaystyle \int \sin(\theta)\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta=\frac{\sin^2(\theta)}{2}+C$

För de aktuella gränserna inser man att integralen över intervallet blir 0.

Jroth skrev:

Det blir det sistnämnda, dvs

$u=\sin(\theta)$

$du=\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta$

Vilket ger att att integralen

$\displaystyle \int \sin(\theta)\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta=\frac{\sin^2(\theta)}{2}+C$

För de aktuella gränserna inser man att integralen över intervallet blir 0.

Tack! Stämmer det att sin(kpi)=0 för alla k? dvs sin(4pi) = 0, sin(8pi)=0?

Alla heltal k, ja.