Dubbelintegral med område.

Hej jag har följande problem

Låt $D=\left\{\right(x,y) \in R^2: x^2+y^2<1\}.$ Avgör för vilka p>0

$\int \int D \frac{1}{{\left(x4+2x3y+3x2y2+2xy3+y4\right)}^p}dxdy$ är konvergent.

(Ledning: Undersök symmetrier hos integranden för att hitta ett eller flera variabelbyten
som förenklar integralen.)

Mitt försök till lösning:

Jag fokuserar på att förenkla nämnaren så mycket som möjligt. Genom kvadratkomplettering i nämnaren från $\frac{1}{{\left(x^4+2x^{3}y+3x^3{y}^3+2x{y}^3+y^4\right)}^p}=\frac{1}{{\left({(x^2+y^2)}^{2 }+xy(2x^2+xy+2y^2)\right)}^p}$

sedan byte till polära koordinater och förenklat uttrycket såhär långt:

$\frac{4^p}{(4r^4\times r^2\sin (2\theta \left)\right)\left(r^2\sin \right(2\theta )+4r^2\cos (\theta )+4r^2\sin {\left(\theta \right))}^p}r d\theta dr$

En tidigare tråd från April i år med samma problem har gett en delvis vägledning, men jag kommer inte hela vägen fram till samma resultat som i den tråden https://www.pluggakuten.se/trad/dubbelintegralen-4/

svaret som jag försöker förenkla uttrycket till  borde vara något i den här stilen : ${\int }_0^1\frac{r}{r^{4p}}dr {\int }_0^{2\pi }\frac{1}{{(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta )}^{2p}}d\theta .$

men jag kommer inte fram ditt. Skulle uppskatta vägledning/tips på hur jag kan förenkla uttrycket ytterligare.

Tack på förhand!