Dubbelintegral med många villkor

Hej! Jag har fastnat på en del i följande uppgift:

Jag har löst ut y ur villkoren och fått fyra räta linjer: $y_{1} = 1 + 2 x, y_{2} = 2 + 2 x, y_{3} = - x, y_{4} = 2 - x$ . Området D ges således av fyrkanten mellan dessa, se bild:

Jag har räknat ut intervallet i x-led genom att sätta y₃=y₂ och y₁=y₄. Då har jag fått $\frac{- 2}{3} \leq x \leq \frac{1}{3}$ . Och jag vill räkna ut dubbelintegralen genom att första integrera y (med intervall som beror av x) och sedan x (med givet intervall). Nu kommer jag till problemet: jag har ju fyra stycken y-linjer som beror av x! Men jag kan bara ha med två i integralen, alltså typ $\int_{y_{2}}^{y_{1}} (4 x - 2 y) d y$ . Hur ska man göra här egentligen?

Kan du räta ut parallellogrammen till en rektangel med ett lämpligt variabelbyte?

Jag arbetar också på den här, och har gjort variabelbyte till u=y-2x och v=x+y, samt hittat jacobideterminanten för (u,v) och inverterat den för att få determinanten för (x,y).

Kan man bara stoppa in allt i integralerna med gränserna? Och hur ändrar man 4x-2y till att inneha u och v?

$[\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} - 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$ $\Rightarrow$ $[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$ = ${[\begin{matrix} - 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]}^{- 1}$ $[\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}]$ = $\frac{- 1}{3}$ $[\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} u \\ v \end{matrix}]$

x = $\frac{v - u}{3}$

y = $\frac{u + 2 v}{3}$

Svara

Visa senaste svar