Dubbelintegral med ett jobbigt variabelbyte

Hej! Har problem med följande fråga:

Beräkna $\iint_{D} (x^{4} - y^{4}) d x d y$ där $D = {(x, y) : 1 < x^{2} - y^{2} < 4, \sqrt{17} < x^{2} + y^{2} < 5, x < 0, y > 0}$

Jag hade lite problem med att rita området men det löste sig, det faktiska problemet var variabelbytet jag skulle tillämpa. Det kändes som att substitutionen $x^{2} + y^{2} = u, x^{2} - y^{2} = v$ skulle tillämpas, vilket i sin tur gav funktionaldeterminanten $|\begin{matrix} \pm \frac{1}{4} \sqrt{\frac{2}{u + v}} & \pm \frac{1}{4} \sqrt{\frac{2}{u + v}} \\ \pm \frac{1}{4} \sqrt{\frac{2}{u - v}} & \mp \frac{1}{4} \sqrt{\frac{2}{u - v}} \end{matrix}| = - \frac{1}{4 \sqrt{u^{2} - v^{2}}}$ .

Problemet jag stötte på här var att substitutionen inte var bijektiv om vi inte avgränsade x och y värdena för varje u och v värde till endast att x<0 och y>0, vilket uppgiften antydde, men jag är osäker om man kan göra så och att satsen för variabelbyte fortfarande gäller. Jag fick anta det och gick vidare (ni får gärna tydliggöra det om det det går). Jag fick då att integralen blev

$\iint_{D} x^{4} - y^{4} d x d y = \iint_{E} \frac{u v}{4 \sqrt{u^{2} - v^{2}}} d u d v = \frac{1}{4} \int_{1}^{4} \int_{\sqrt{17}}^{5} \frac{u v}{4 \sqrt{u^{2} - v^{2}}} d u d v = \frac{1}{4} \int_{1}^{4} {[v \sqrt{u^{2} - v^{2}}]}_{\sqrt{17}}^{5} d v$

$= \frac{1}{4} \int_{1}^{4} v \sqrt{25 - v^{2}} - v \sqrt{17 - v^{2}} d v = \frac{1}{12} {[- ({(25 - v^{2})}^{3 / 2} + {(17 - v^{2})}^{3 / 2})]}_{1}^{4}$

$= \frac{1}{12} (- 27 + 1 + 24^{3 / 2} - 32) = \frac{- 58 + 24^{3 / 2}}{12} \neq \frac{8 \sqrt{6} - 15}{2}$

Där det sista uttrycket är svaret. Jag vet som sagt inte om det är variabelbytet som går snett eller om jag gör något räknefel. All hjälp uppskattas oavsett!

Rita upp området D dels i xy-planet, dels i uv-planet. Lägg upp bilden här.

Oj då, jag ser visst att jag hade skrivit området fel, det ska vara ett minus tecken istället för ett plusstecken, jag har redigerat inlägget så det borde vara rätt nu. Här är områdena, jag gjorde inte det för hand eftersom det skulle ta alldeles för lång tid:

Det gulmarkerade är det relevanta området, som man kan se så är det inte bijektivt om inte avgränsar x och y till andra kvadranten (x<0, y>0).

Eftersom det ursprungliga området ligger i andra kvadranten kan du göra så som du beskrev.

Smaragdalena skrev:
Eftersom det ursprungliga området ligger i andra kvadranten kan du göra så som du beskrev.

Okej, du menar alltså att variabelbytet funkar och att det därmed är något slarvfel?

Måste tänka lite mer... Hur är det med u+v och u-v, har de uttrycken alltid samma tecken?

Smaragdalena skrev:
Måste tänka lite mer... Hur är det med u+v och u-v, har de uttrycken alltid samma tecken?

Är det ett tips eller en fråga? för om det är en fråga så är $u>\sqrt{17}>4$ och $v<4$ det säger att $u-v>0$ , men om det är ett tips förstår jag inte riktigt hur jag ska använda mig av det.

Nja, det var en fundering för jag kommer inte riktigt ihåg det här.

Jag tror jag kanske har hittat felet, jag räknar om de sista två raderna:

$= \frac{1}{4} \int_{1}^{4} v \sqrt{25 - v^{2}} - v \sqrt{17 - v^{2}} d v = \frac{1}{4} {[- \frac{2}{3} \frac{1}{2} {(25 - v^{2})}^{3 / 2} + \frac{2}{3} \frac{1}{2} {(17 - v^{2})}^{3 / 2}]}_{1}^{4}$

$= \frac{1}{12} (- 9^{3 / 2} + 1^{3 / 2} + 24^{3 / 2} - 4^{3 / 2}) = \frac{1}{12} (- 27 + 1 + 24 \sqrt{24} - 16 \cdot 4) = \frac{1}{12} (- 90 + 24 \sqrt{24})$

$= \frac{- 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{- 3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \sqrt{6}}{2} = \frac{8 \sqrt{6} - 15}{2}$

Smaragdalena skrev:
Nja, det var en fundering för jag kommer inte riktigt ihåg det här.

Aha, okej tack för hjälpen oavsett! Det verkar ha löst sig, det var nog ett räknefel till slut tror jag som jag hittade i inlägget ovan.

Vad bra att du hittade det!

Svara

Visa senaste svar