Dubbelintegral längs nivåkurva

Jag har följande problem:

$I = \iint_{D} \frac{y}{x} d x d y, D = \{4 \leq x + 3 y \leq 7 \land 4 x \leq y \leq 5 x\}$

Det står som tips att man kan integrera längs nivåkurva.

min första tanke var att använda $I = \int_{a}^{b} h (u) A' (u) d u$

Där jag satte g(x,y) = y/x och får då a=4 b=5 och h(u) = u. Därefter får jag problem med att räkna ut arean och hittar ingen bra lösning på hur jag kan räkna ut den. Är lösningen på rätt spår eller har jag tänkt helt fel? Tack på förhand!

Du kan låta $y/x=v$ och sedan ta fram en areafunktion $A(v)$ som lägger ihop längden av ett sådant streck i området gånger en bredd $dv$ och sedan samla ihop dessa rektanglar över hela området, dvs från $v=4$ till $v=5$ . Då kan du använda en variant av formeln du talar om eftersom integranden $y/x$ är konstant längs nivåkurvan.

Men enklare är kanske variabelbytet

$u=x+3y$

$\displaystyle v=\frac{y}{x}$

Med areaelementet $\displaystyle \frac{u}{(1+3v)^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$ (visa det!).

Svara