Dubbelintegral

Jag skulle skriva volymen som

$\displaystyle V = \int\int_Az(x,y)dxdy$

där A är området i xy-planet och sedan göra ett lämpligt koordinatbyte. 

(Det borde även gå att lösa uppgiften "utan att integrera" då volymen är en cylinder som skärs av ett plan.)

Hur blir gränserna i variabelutbytet? Det är en ingen homogen cylinder!

Vad är en homogen cylinder?

Det är kanske är irrelevant här men jag menade att den inte är $\displaystyle x^2+y^2=k^2$ utan här har vi en ellips. Så hur ska vi integrera med avseende på $\theta$?

PS. Har suttit fast på tre uppgifter sedan kl 17.00, vet inte om jag bara ska hoppa över hela kapitlet med integraler och satsa på annat :( Vad tror ni!?

Med x = a cos(t) och y = b sin(t) kan du parametrisera en ellips. t går från 0 till $2 \pi$ som vanligt. 

Jag kom fram till $\displaystyle \int_{0}^{2+rcos(t)} (r^2cos^2(t)+4r^2sin^2(t)-4)dr \cdot \int_{0}^{2\pi} dt$

Känns jättefel. Om det är det, då hoppar jag över uppgiften och kommer tillbaka till den på sommaren :)

Soderstrom skrev:

Jag kom fram till $\displaystyle \int_{0}^{2+rcos(t)} (r^2cos^2(t)+4r^2sin^2(t)-4)dr \cdot \int_{0}^{2\pi} dt$

Känns jättefel. Om det är det, då hoppar jag över uppgiften och kommer tillbaka till den på sommaren :)

Du har något som ser ut som definitionen av randkurvan (x²+4y² = 4) i integranden. Den ska inte vara där. Att man får med hela området ges av parametriseringen, så att r ska gå från 0 till 1 (eller 2, beroende på hur man använder r i parametriseringen). Om man formulerar uppgiften som en trippelintegral så blir gränserna för z 0 och 2+rcos(t) som du har skrivit, men då är integranden 1. Eftersom det är en volym vi ska beräkna blir det en dubbelintegral där 2+rcos(t) är integrand.

Du borde öva på enklare problem, för det här innehåller flera komplicerade saker på en gång. Kan du t.ex. formulera en integral för ytan av ellipsen?

Eventuellt är det inte meningen att du ska lösa detta på det jobbiga sättet, eftersom man kan utnyttja de geometriska egenskaperna för att få fram svaret utan att integrera.