dubbelintegral

Dina partiella derivator är fel, och alltså även din Jacobideterminant.

Dessvärre blir din integral inte enklare även om du rättar till Jacobideterminanten. Hur vet du att det skall tolkas som $\cos((12x+4y)^2)$ och inte $(\cos(12x+4y)^2$? Det sistnämnda ger nämligen en lätt integral, medans det första kräver Fresnelfunktioner (som ändå bara ger approximationer) för att beräkna.

för jag fråga läraren som skrivit frågan. Och man ska på nått sätt derivera v först så att cos(u^2) försvinner för att gränserna i dv är från nått till u något har jag för mig att han sa. Varför är min jacobdeterminat fel?

Du ska troligtvis integrera med hjälp av nivåkurvor i denna uppgift, då blir integralen lättare trots att du har u i kvadrat i cosinus. Om du låter y=12x+4y kan ju din funktion skrivas h(u)= $96\cos \left(u^2\right)$. Formeln för integralberäkning över nivåkurvor är som du kanske vet ${\int }_a^{b}h\left(u\right)*A\text{'}\left(u\right)du$

I ditt fall går ju u från 12 till 48. A(u) betecknar ju arean av definitionsmängden, den kan du få fram med hjälp av din bild du redan ritat.

Jag har den formeln  i boken men vi har inte gjort några övningar på den så vet inte riktigt hur man ska ta för steg

Denna formel kommer inte från ett vanligt variabelbyte i en dubbelintegral utan från det faktum att funktionen är konstant längs nivåkurvorna 12x+4y=c, där c är en konstant.  Då kan man erhålla formeln jag skrev i mitt förra inlägg. Om du använder Persson-Böiers bok i flervariabelanalys så behandlar avsnitt 6.5 metoden. Jag verkar tyvärr inte kunna hitta några resurser online som förklarar principen mer noggrant.

Edit: För att praktiskt lösa den här uppgiften börjar du med att få ett uttryck för h(u). Jag gav ett uttryck för h(u) i mitt förra inlägg. A(u) betecknas arean i ditt ursprungliga definitionsområde som en funktion av u. Som du kan se från ditt definitionsområde kommer arean bestå av differensen mellan en stor triangel och en liten rektangel. Försök hitta ett uttryck för denna arean. 

hur menar du att jag skall hitta en ekv för en konsant=area

Ja cos(u^2) är kvar, men det kommer lösa sig om du räknar ut A'(u). Vi satte tidigare 12x+4y=u. det kan skrivas om som y=u/4-3x, dvs en rät linje som skär ut ett område i första kvadranten. Om du räknar ut skärningspunkterna dels för den undre gränsen 12x+4y=24 och den variabla gränsen 12x+4y=u så kan du till slut få ett uttryck på arean. Jag bifogar en bild.

Är det nått sånt här du menar med ekvation?:

$\frac{(12-3x)x}{2}-\frac{(6-3x)x}{2}$

edit:

fast om vi säger att ena linjen = u blir det så här

$\frac{{\displaystyle (\frac{u}{4}-3x)x}}{2}-\frac{(6-3x)x}{2}$

vilket blir (ux-24x)/8

men då blir A'(u) = v/8 vilket inte ändrar cos(u^2)

Jag kan bara inflika angående din undran om vad som händer med Jacobideterminanten, och det enkla svaret är att när man räknar med nivåkurvor behövs ingen Jacobideterminant eftersom vi inte gör något variabelbyte.

Poängen är ju att om du delar upp små remsor i riktning som linjen $12x+4y=24$ så kommer funktionens värde att vara konstant på dessa remsor. Det går därför att summera arean av dessa remsor gånger funktionens värde på remsan och få funktionens värde. Summan kan beräknas med en envariabelintegral.

Så här försökte jag lösa det med A(u):

Har du stött på metoden med nivåkurvor förut? Om inte kan du läsa ett bra inlägg som Guggle skrev i denna tråd.

Jag tycker att det bara blir rörigt om vi försöker applicera formler här, så jag skrotar parvelns notation för tillfället. Om du kikar på bilden jag inkluderade i mitt förra inlägg så konstaterade vi att när $dx$ är tillräckligt litet blir funktionens värde konstant på det lila området (detta eftersom funktionen beror på $12x+4y$, som är konstant längs dessa linjer). Vi skall nu integrera alla små remsor över hela området för att få dubbelintegralens värde.

Remsorna är ju parallellogram och arean ges därför av $h\cdot dx$. Höjden $h$ beror på $x$, för höjden är ju nämligen $y$-värdet på linjens skärningspunkt med $y$-axeln. På $x$-axeln är nivåkurvans värde $12x$ och detta skall ju vara samma vid $y$-axeln där värdet är $4y$. Vi får alltså att $4y=12x$ och att $y=3x$. Arean av parallellogrammen ges därför av $h\cdot dx=3x\cdot dx$.

Funktionens värde på nivåkurvan kommer att ges av $96\cos(12x)^2$, (värdet av $12x+4y$ var ju samma som $12x$) och därmed får vi integralen:

$\displaystyle\int_2^4 96\cos\left(\left(12x\right)^2\right)\cdot 3x\ dx$

($x=2$ och $x=4$ är ju områdets kanter på $x$-axeln)

Hänger du med på det?

Den här biten förstod jag inte helt:

 På x-axeln är nivåkurvans värde 12x och detta skall ju vara samma vid y-axeln där värdet är 4y. Vi får alltså att 4y=12x och att y=3x. Arean av parallellogrammen ges därför av h⋅dx=3x⋅dx.

Och jag antar det är där du tar ifrån att 12x+4y = 12x. Men tidigare skrev du ju att 4y = 12x och då bör det istället bli 24x i min mening.

Linjen bestäms ju utifrån ekvationen $12x+4y=\text{konstant}$, att summan av $12x$ och $4y$ alltid skall vara lika med samma värde. Om $12x$ blir större blir ju $4y$ mindre för att summan fortfarande skall kunna vara samma. Mitt resonemang för att få fram höjden går ut på att eftersom på $x$-axeln är värdet bara $12x=\text{konstant}$ ($y$ är ju noll där) och på $y$-axeln är det $4y=\text{samma}\ \text{konstant}$ kan vi konstatera att $12x=4y$, där $y$ är $y$-koordinaten på $y$-axeln och $x$ är $x$-koordinaten på $x$-axeln. Detta ger oss att $h=y=3x$.

Tack så Jätte mycket :) Förstår nu