dubbelintegral

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Om ja, lägg in bilden här. Om nej, rita och lägg in bilden här.

Smaragdalena skrev:

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Om ja, lägg in bilden här. Om nej, rita och lägg in bilden här.

Har du en aning om hur området D ser ut?

Det blir 1/8 cirkelring.

hur vet du att det är en cirkelring? 

Jag ritade, förstås.

Det räcker med Ma3 för att man skall kunna rita upp området.

Hej!

I rektangulära xy-koordinater har en cirkel med centrum $(0,0)$ och radie $r$ ekvationen $x^2+y^2=r^2.$ 

Olikheten $x^2+y^2 \leq (2\pi)^2$ uppfylls av alla punkter som ligger på cirkelskivan med centrum $(0,0)$ och radie $2\pi$.

Albiki skrev:

Hej!

I rektangulära xy-koordinater har en cirkel med centrum $(0,0)$ och radie $r$ ekvationen $x^2+y^2=r^2.$ 

Olikheten $x^2+y^2 \leq (2\pi)^2$ uppfylls av alla punkter som ligger på cirkelskivan med centrum $(0,0)$ och radie $2\pi$.

Hej :)

om jag förstår rätt nu så $\mathrm{\pi }\le \mathrm{x}\le 2\mathrm{\pi }$

Har du ritat en bild ännu? Det löser denna uppgiften rätt bra.

Edit: Eller det ger insikt i vilket område du vill integrera över. Detta måste man ta reda på först!

Egocarpo skrev:

Har du ritat en bild ännu? Det löser denna uppgiften rätt bra.

Edit: Eller det ger insikt i vilket område du vill integrera över. Detta måste man ta reda på först!

be5612 skrev:

Egocarpo skrev:

Har du ritat en bild ännu? Det löser denna uppgiften rätt bra.

Edit: Eller det ger insikt i vilket område du vill integrera över. Detta måste man ta reda på först!

Bra start. Rita in villkoret $\pi^2<x^2+y^2$ också.

Smaragdalena skrev:

be5612 skrev:

Visa föregående citat

Egocarpo skrev:

Har du ritat en bild ännu? Det löser denna uppgiften rätt bra.

Edit: Eller det ger insikt i vilket område du vill integrera över. Detta måste man ta reda på först!

Bra start. Rita in villkoret $\pi^2<x^2+y^2$ också.

Ja. Markera området D!

Snyggt! Nu blir det mycket lättare att hitta området D.

Edit: Kom ihåg att båda villkoren skall vara uppfyllda.

pi<x<2pi men y då jag kan inte bestäma om 0<y<2 eller 0<y<4 eller någonting annat som jag inte ens kan se 

Det där ser ut som område D bra!
Jag hade nog gått över till polära koordinater här.

Edit: Ser du vad vinkeln intervallet och radie intervallet blir?

Egocarpo skrev:

Det där ser ut som område D bra!
Jag hade nog gått över till polära koordinater här.

 

Edit: Ser du vad vinkeln intervallet och radie intervallet blir?

jag förstod inte riktigt 

Har ni pratat om polära koordinater?

x=r*cos(θ) ,y=r*sin(θ).

Egocarpo skrev:

Har ni pratat om polära koordinater?

x=r*cos(θ) ,y=r*sin(θ).

ja, det har vi. jag vet att man ska parametrisera så att det ska bli lättare att integrera men ska man inte ta reda på gränserna först?

Om du tar gränserna du hade för x och y , sen byter du ut dem mot x=r*cos(θ) ,y=r*sin(θ). Och se vad du får, jag tror det blir fint. :)

Egocarpo skrev:

Om du tar gränserna du hade för x och y , sen byter du ut dem mot x=r*cos(θ) ,y=r*sin(θ). Och se vad du får, jag tror det blir fint. :)

 

Visa spoiler

Den första är 0 < y < x ==> 0 <r*sin(θ) < r*cos(θ) ==> 0 <sin(θ) < cos(θ)

så du menar ${\int }_0^{\cos t}{\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}\sin \sqrt{4\cos t+4\sin t}$? jag tror jag är helt ute o cyklar 

Kan du få över det till en vinkel istället för cos(t). För vilken vinkel är sin(θ) = cos(θ)?  och hur ska vinkeln gå för cosinus ska bli större? 

Om du kollar på området D så ser du kanske vad vinkeln börjar på?

Vad blir x²+y²=??

Egocarpo skrev:

Kan du få över det till en vinkel istället för cos(t). För vilken vinkel är sin(θ) = cos(θ)?  och hur ska vinkeln gå för cosinus ska bli större? 

Om du kollar på området D så ser du kanske vad vinkeln börjar på?

Vad blir x²+y²=??

pi/4

Yes det är slut vinkeln då x =y, vilken vinkel startar det med?

Egocarpo skrev:

Yes det är slut vinkeln då x =y, vilken vinkel startar det med?

${\int }_0^{\mathrm{\pi }/4}?$

Yes så 0< θ < pi/4

och pi < r < 2*pi

Nu har vi gränserna!

Kvar att lösa är x²+y²=??

Sen en grej som händer när man går ifrån dxdy till drdθ?

Egocarpo skrev:

Yes så 0< θ < pi/4

och pi < r < 2*pi

Nu har vi gränserna!

Kvar att lösa är x²+y²=??

Sen en grej som händer när man går ifrån dxdy till drdθ?

om x=r*cos t och y=r*sin t så blir $x^2+y^2=4$

be5612 skrev:

Egocarpo skrev:

Yes så 0< θ < pi/4

och pi < r < 2*pi

Nu har vi gränserna!

Kvar att lösa är x²+y²=??

Sen en grej som händer när man går ifrån dxdy till drdθ?

om x=r*cos t och y=r*sin t så blir $x^2+y^2=4$

 Om du tar 4 * (pi)² så är du på randen ja. Men om du löser det mer allmänt x²+y² = (r*cos(t))²+(r*sin(t))² =r²*cos(t)²+r²*sin(t)²=r²(cos(t)²+sin(t)²)=r²*1=r²

Egocarpo skrev:

be5612 skrev:

Visa föregående citat

Egocarpo skrev:

Yes så 0< θ < pi/4

och pi < r < 2*pi

Nu har vi gränserna!

Kvar att lösa är x²+y²=??

Sen en grej som händer när man går ifrån dxdy till drdθ?

om x=r*cos t och y=r*sin t så blir $x^2+y^2=4$

 Om du tar 4 * (pi)² så är du på randen ja. Men om du löser det mer allmänt x²+y² = (r*cos(t))²+(r*sin(t))² =r²*cos(t)²+r²*sin(t)²=r²(cos(t)²+sin(t)²)=r²*1=r²

2pi?

Nja. Nu kom vi fram till att $x^2+y^2=r^2$.

Vad blir då $\sin(\sqrt{x^2+y^2})$?

Kan du säga vad differentialen (det man skall byta $dxdy$) mot blir när vi gör övergången till polära koordinater?

AlvinB skrev:

Nja. Nu kom vi fram till att $x^2+y^2=r^2$.

Vad blir då $\sin(\sqrt{x^2+y^2})$?

Kan du säga vad differentialen (det man skall byta $dxdy$) mot blir när vi gör övergången till polära koordinater?

jag förstår inte men det mab byter $dxdy$mot blir $drd\theta$ och när man byter $\sin (\sqrt{x^2+y^2)}$till polära koordinater $\sin \left(2\right)$

När du går ifrån (x,y) till (r,θ) Måste du fortfarande kunna peka på alla punkterna i området då.

Edit tänk x²+y² i området D är inte alltid 2, prova! Men det är alltid r². 

Jag förstår inte riktigt varför du envisas med att byta ut $x^2+y^2$ mot någon konstant. På vårt område kommer $r$ att ha olika värden (alla värden mellan $\pi$ och $2\pi$), därför får vi inte byta ut $r$ mot en konstant.

Vad jag menar är att eftersom vi vet att $x^2+y^2=r^2$ kan vi byta ut:

$\sin(\sqrt{x^2+y^2})$

mot

$\sin(\sqrt{r^2})=\sin\left(r\right)$

Är du med på det?

Jag vet inte om det var det du försökte skriva, men när vi byter från kartesiska till polära koordinater får vi en extra faktor $r$ i differentialen, d.v.s. $dxdy=r\ drd\theta$

AlvinB skrev:

Jag förstår inte riktigt varför du envisas med att byta ut $x^2+y^2$ mot någon konstant. På vårt område kommer $r$ att ha olika värden (alla värden mellan $\pi$ och $2\pi$), därför får vi inte byta ut $r$ mot en konstant.

Vad jag menar är att eftersom vi vet att $x^2+y^2=r^2$ kan vi byta ut:

$\sin(\sqrt{x^2+y^2})$

mot

$\sin(\sqrt{r^2})=\sin\left(r\right)$

Är du med på det?

Jag vet inte om det var det du försökte skriva, men när vi byter från kartesiska till polära koordinater får vi en extra faktor $r$ i differentialen, d.v.s. $dxdy=r\ drd\theta$

jag har kollat på flera exempel i boken där de har gjort så därför trodde jag man ska alltid göra så.

men blir det då ${\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\pi }/4}\sin \left(r\right) r drd\theta$?

Om du bara skulle kollat på randen så är det kanske vettigt att byta ut x²+y² mot en konstant. Men nu ska vi integrera i flera dimensioner då blir det jättefel om man gör så.

be5612 skrev:

men blir det då ${\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\pi }/4}\sin \left(r\right) r drd\theta$?

Ser bra ut! 

Egocarpo skrev:

be5612 skrev:

men blir det då ${\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\pi }/4}\sin \left(r\right) r drd\theta$?

Ser bra ut! 

är det bara att integrera nu? eller är det något annat som jag behöver göra innan

Bara ös på.  θ integraler är ju väldigt enkel. :)

En sak du måste hålla på till vilken differential de olika intervallen tillhör!

Egocarpo skrev:

Bara ös på.  θ integraler är ju väldigt enkel. :)

En sak du måste hålla på till vilken differential de olika intervallen tillhör!

${\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}r{\int }_0^{\mathrm{\pi }/4}\sin \left(r\right)$

Du måste ha med diffrentialerna och alla som beror på r ska ju integreras med dr. Allt som beror på θ (I detta fallet bara en 1:a) ska integreras med dθ. 

allt som beror på r på ett ställe och allt som beror på θ i den andra integralen. ${\int }_{pi}^{2*pi}r*\sin \left(r\right) dr$*${\int }_0^{pi/4}1d\theta$