Dubbelintegral

Hej

kan någon förklara hur man kan skriva arean som dubbelintegral över x och y

Genom avbildningen:

$(\frac{u = x^{3}}{v = y^{3}})$

överförs cirkelskivan $x^{2} + y^{2} \leq 1$ i ett område A. Beräkna arean av A

Arean A= $\iint_{A} d u d v = \iint_{E} 9 x^{2} y^{2} d x d y$

E=(X,Y) $X^{2} + Y^{2} \leq 1$

Sedan bytte jag till polära koordinater och skriver dubbelintegralen som en produkt av två enkelintegraler

$\frac{9}{4} (\int_{r = 0}^{1} r^{5} d r) (\int_{θ = 0}^{2 π} \sin 2 θ d θ)$

Jag är dock lite osäker på hur arean kan skrivas som dubbelintegralen över x och y

Jag är inte säker på att jag har förstått uppgiften rätt men gör ett försök. Så du menar att i uv-planet så har du ett område som skickas till en cirkel i xy-planet genom avbildningen som du anger? Då har du ställt upp rätt integral för arean av området i uv-planet. Sen kan man väl tänka på variabelbytet som något som hjälper dig att beräkna integralen. När du gör ett variabelbyte måste du däremot ta hänsyn till Jacobianen som är $9 x^{2} y^{2}$ i detta fall.

Uppgiften här är följande:

det centrala i lösningen är den andra likheten i lösningen, dvs hur arean skrivs som dubbelintegral över x och y.

Men jag är inte riktigt säkert på hur man ska förklara det.

Det följer då vid ett variabelbyte gäller $\iint f (u, v) d u d v = \iint f (g (x, y), h (x, y)) \frac{\partial (u, v)}{\partial (x, y)} d x d y$ (egentligen ska det vara absolutbelopp på Jacobianen). I detta fall är $f (u, v) = 1$ så det är inte så mycket att oroa sig för, du behöver bara beräkna Jacobianen och integrera över det nya området.

jag hänger inte riktigt med här

att jag har jacobianen $9 x^{2} y^{2}$ är jag med på, ska man ha den inom absolutbelopp $|9 x^{2} y^{2}|$ men hur man ska förklara att arean skrivs som dubbelintegral över x och y följer jag inte riktigt med på.

Du undrar över variabelbyte när u,v byts mot x,y. Det är helt analogt med variabelbyte i en variabel när u byts mot x.

Det jag har problem är att i ord beskriva hur arean skrivs som dubbelintegral över x och y.

jag vet inte riktigt vad man ska svara på det.

Jag vet inte riktigt om jag förstår vad du inte hänger med på men tänk så här, du hittar arean av ett området i uv-planet genom $\iint d u d v$ . Så nu gäller det bara att beräkna integralen, eftersom du endast vet hur området ser ut efter en avbildning till xy-planet gör du variabelbytet vilket ger dig en möjlighet att beräkna integralen. Fokusera inte så mycket på varför integralen ser ut som den gör.

okej jag tror jag förstår nu, svaret ska bli $\frac{3 π}{8}$

$9 x^{2} y^{2}$ dxdy kommer väl från derivatan av $x^{3} y^{3}$

Den kommer från Jacobianen som innehåller derivator av u och v. Du kan hitta mer på denna länk http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/ChangeOfVariables.aspx

Svara

Visa senaste svar