Dubbelintegral

B.N. skrev :

Hej

jag har en uppgift där jag ska beräkna en dubbelintegral och har kommit en bit på vägen men fastnat och skulle behöva lite hjälp.

Beräkna:

${\iint }_D\ln \left(1+x^2+y^2\right)dxdy$ där D=$\left\{\left(x,y\right);1\le x^2+y^{2}2\right\}$

Jag tänkte att man kan börja med att byta till cylindriska koordinater och därmed sätta:

$x=r \cos \phi$ och $y=r \sin \phi$

Då får vi väl att integrationsområdet $D=\left\{\left(r,\phi \right);1\le r^2\le 2, 0\le \phi \le 2\pi \right\}$

Vi kan då ställa upp dubbelintegralen som ${\iint }_D\ln \left(1+r^2\right)rdrd\phi$

men sedan har jag lite problem med hur man ska bestämma gränserna för integrationsområdet vi kommer väl att ha den ena integralen mellan 0 och 2pi men hur ska man ta fram gränsvärdet för den andra integralen?

Det saknas ett $\leq$ i första definitionen av D. Ur den andra definitionen får du $1\leq r^2\leq 2$, vilket ger dig gränserna $1\leq r\leq \sqrt{2}$.

jag missade det, har rättat till det nu.

Så vi får då integrationsområdet $I={\int }_1^{\sqrt{2}}{\int }_0^{2\pi }\ln \left(1+r^2\right)rdrd\phi$

kan man sedan i nästa steg förenkla genom att först integrera med ${{\left[\ln \left(1+r^2\right)rdrd\phi \right]}^{2\pi }}_0=2\pi \left(\ln \left(1+r^2\right)rdrd\phi \right)$

och sedan sätta $I={\int }_1^{\sqrt{2}}2\pi r\ln \left(1+r^2\right)drd\phi$

Jag ser sedan i exemplet att dom har gjort ett variabelbyte till och satt $t=1+r^2 då r=1, t=2 och r=\sqrt{2}, t=3, 2rdr=dt$ men jag förstår inte riktigt hur dom kommit fram till variabelbytet