Dubbelintegral

Hej, jag har följande uppgift:

Beräkna integralen $\int \int_{D} \frac{1}{\sqrt{x y}} d x d y$ där D = {(x, y) $\in ℝ^{2}$ : 0 < x , y $\leq$ 1 }

Jag kommer fram till att integralen är divergent hur jag än räknar, men enligt facit så ska den vara konvergent med 4. Är det någon som ser hur man kan komma fram till det?

Visa hur du får om du först integrerar i x (eller y, det är ju symmetriskt).

Vid integration i x först får jag $\frac{2}{y} * \sqrt{x y}$

Jag har annars tänkt att integralen kan delas upp i 2 dubbelintegraler och beräknas separat som ( $\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ ) * ( $\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y$ ), som blir [ $2 * \sqrt{x}$ ] * [ $2 * \sqrt{y}$ ]

Stämmer verkligen gränserna? Y måste väl vara positivt också för att roten ska funka? Som det ser ut nu tycker jag att den borde vara divergent.

Jag fattar det som att integrationsområdet är en kvadrat med diagonal mellan (0,0) och (1,1)

Hmm ja, gränserna stämmer överens med de som anges i uppgiften.. Skulle det bli någon skillnad i uträkningarna om y > 1 ?

Dr. G, hur ser du det? Jag tolkar det som att det blir hela området i fjärde kvadranten + en rektangel ovanför x-axeln, som:

Jag läste

0 < x, y < 1

som

0 < x < 1

och

0 < y < 1

xy > 0 är ju ett krav för att integranden ska vara reell.

Om vi går på Gs tolkning så är det ju uträknat och klart, bara att stoppa in 1 och 0 i dina primitiver så blir det 4, så det är antagligen så de menade.

Ja men så måste det ju vara, tack!

Svara

Visa senaste svar