Dubbelintegral

Hej, jag har följande uppgift att lösa : 

Beräkna integralen $\int {\int }_D(x^2+y^2)dxdy$där D är området i första kvadranten som begränsas av kurvorna $x^2-y^2 =\hspace{0.17em}1$, $x^2-y^2 =\hspace{0.17em}4$, $xy = 1$samt $xy=4$. 

Jag har skissat området D som ser ut såhär (området mellan kurvorna): 

Jag antar att man vill göra ett variabelbyte, men tycks inte se vilket som blir smidigast. Jag har testat att byta till polära koordinater men kör fast vid att jag inte riktigt ser hur jag ska tolka villkoren som blir 

1 ≤ $r^2({\cos }^2\theta - {\sin }^2\theta )$ ≤ 4 samt 1 ≤  $r^2\cos \theta \sin \theta$ ≤ 4

Min andra tanke är att göra ett variabelbyte så att $x^2-y^2$= u och $xy=v$. Då får jag att 1$\le$u$\le$4 samt  1 ≤ v ≤ 4, vilket skulle bli ett lite enklare område att undersöka, men har då svårare att hitta integranden.

Alla tips uppskattas!