Dubbelintegral

Bilden visar en åttondel av en sfär inom området D där 0 >= x >= 1 och 0 >= y >= 1.

f(x, y) = sqrt(1 - x^2 - y^2)

Jag ska bestämma dubbelintegralen, det vill säga volymen.

Jag försöker helt enkelt att integrera sqrt(1-x^2-y^2) med avseende på x först.

$\int$ sqrt(1 - x^2 - y^2) dx =

[u = 1 - x^2 - y^2, du/dx = -2x, dx = du/(-2x)]

= (∫ u du) / (-2x) =

(2/3)*u^(3/2) / (-2x) =

-(1 - x^2 - y^2)^(3/2) / x

vilket verkar vara fel enligt Wolfram Alpha. Var gör jag fel? Hur tänker jag fel? Tacksam för hjälp!

f verkar kontinuerlig på det slutna området D, så att man kan integrera stegvis som du tänkt. (Fubinis sats). Det ser dock ut som att du behandlar (-2x) i nämnaren som en konstant, men den varierar ju när du integrerar m a p x. x behöver uttryckas i u, men då kan integranden bli besvärlig på riktigt.

Den här uppgiften blir väldigt enkel i polära koordinater. Inför

$x=r\cos(\theta)$

$y=r\sin(\theta)$

$f(r,\theta)=\sqrt{1-r^2}$

Kan du ställa upp integralen och gränserna? Glöm inte att multiplicera med funktionaldeterminanten från koordinatbytet.

Svara