Dualitet, normer och koner

Hej!

Om jag har förstått begreppet rätt så är den duala konen till $K$ mängden av alla linjära funktionaler ($L$) på produktrummet $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n$ som avbildar $K$ på icke-negativa tal.

    $K^* = \{L \in (\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n})^*: L(\xi) \geq 0\quad \forall \xi \in K\}.$

Ett $\xi \in K$ kan skrivas $\xi = (t,x)$ där $t \in \mathbb{R}$ och $x \in \mathbb{R}^{n}$ sådant att $|x| \leq t$; detta kräver att $t \geq 0$ eftersom $|\cdot|$ är en norm och därför är icke-negativ. En godtycklig linjär funktional $L$ på $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}$ representeras av ett element $l = (\lambda,z)$ så att

    $L(\xi) = \langle l,\xi\rangle = \lambda t + z \cdot x$

där $z \cdot x$ betecknar skalärprodukt mellan vektorerna $z$ och $x$ i $\mathbb{R}^{n}$.

Om jag har förstått det hela korrekt så gäller det att visa att $L(\xi) \geq 0$ precis då dess representant $l = (\lambda,z)$ är sådan att

    $\sup_{|x|=1} z \cdot x \leq \lambda$.

Tack Albiki,

Jag hänger med på ditt resonemang, och detta gör problemet lite mer överblickbart. Jag vet dock inte riktigt hur jag ska visa det att:

$L\left(\xi \right) \ge 0 \iff su{p}_{||x||=1} z·x \le \lambda$

Nedan följer någon slags ansats. Vid 2. utnyttjar jag att skalärprodukten är störst då z och x är parallella, vet dock inte om detta tillför något ens.

$$\begin{gathered} 1. L\left(\xi \right)=⟨l, \xi ⟩=\lambda t+z·x \ge 0 \iff \lambda \ge -\frac{1}{t}z·x \\ 2. su{p}_{||x||=1} z·x = \frac{||x||}{||z||}z·z = \frac{1}{||z||}z·z =||z|| \end{gathered}$$

Hur visar jag att:

$su{p}_{||x||=1} z·x = -\frac{1}{t}z·x$  ?

Tack för tålamod :)