Dual avbildning - förstår inte definitionen

Hej, jag förstår inte en sak i den här definitionen

Det står att L* tar ett element från W* ( $ϕ$ ) och sen spottar ut $ϕ (L (x))$ där $L (x) \in W$

Jag förstår därmed inte hur $ϕ (L (x))$ $\in$ V*, per definition av den linjära formen $ϕ$ borde väl det elementet ligga i kroppen k?, dvs det borde bara vara ett tal?

Jag testade med notationen att se linjära former som radvektorer och då får man ju på samma sätt enbart att $ϕ (L (x))$ blir matrismultiplikation av en 1xm matris med en mx1 matris, men elementen i V* är ju med den definitonen 1xn matriser.

Vad är det jag tänker fel?

Jag har alltså tänkt att V är n-dimensionellt och W m-dimensionellt i fallet där jag såg de linjära formerna som matriser.

Du har rätt att det är ett tal. Du skall se det som att v = $L^{*} (ϕ)$ är ett element i $V^{*}$ (där $ϕ$ ligger i W^*) som kan verka på vektorn x i V. Och denna funktional v definieras av v(x) = $ϕ$ (L(x)).

Kanske är det tydligare att definiera det på detta vis

$L^{*} : W^{*} \to V^{*}, ϕ \in W^{*} \mapsto ϕ \circ L \in V^{*}$ . Notera att om $ϕ$ ligger i W^* så ligger $ϕ \circ L$ i V^*. Sedan måste man väl visa att det faktiskt är en linjär avbildning.

Ahhhh, tack så mycket, jag förvirrade mig just över att det stod $L * : W * \underset{}{\to V *}$

En bättre notation för själva L* hade väl då varit $L * (ϕ) = ϕ L$ , istället för det som stod i min definition?

Där man då får $L * (ϕ) : V * \underset{}{\to k}$ via $L * (ϕ) (-) = ϕ (L (-))$

Ja, precis. Man brukar ofta inte skriva ut ”ringen” för sammansättning av två linjära avbildningar utan bara skriva som du gör, så det är helt OK.

stort tack!

Svara

Visa senaste svar