Drivata

Hej!

Du kan inte gissa vilken funktion det är, du kan bara använda egenskaperna hos funktionen som är givet. Börja med att skriva ner derivatans definition och utnyttja egenskaperna hos $f$.

Jag tycker a borde fråga efter f'(0), inte f'(x). f'(x) verkar mycket jobbigare (och inte entydigt).

Testade lite olika klassiska funktioner på Desmos och kom fram till att exponentialfunktionen (e^x) uppfyller alla krav, den är icke-konstant och är kontinuerlig för alla reella x. Men hur man kan komma fram till det utan att gissa är svårt, speciellt för en Ma3 fråga... Men om funktionen är e^x så blir derivatan på a) helt enkelt e^x och f(0) blir bara 1.

EDIT: Man kan nog klura ut vilken funktion det måste vara genom att enligt första villkoren f(a+b)=f(a)*f(b) inse att om man har två faktorer med samma bas multiplicerade ihop med varandra så adderar man bara exponenterna, exempelvis$2^3*2^4$så blir det helt enkelt $2^{3+4}$vilket är vad villkoret frågar efter. Så vi vet att det antagligen är en exponentialfunktion av något slag, det är bara basen vi inte riktigt vet, det är här andra villkoret kommer in.

Om vi antar att gränsvärdet är obestämt då x går mot 0, så kan vi använda L'Hôpitals regel och då får vi:

$\underset{x\to 0}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=1$och det är bara $e^x$som uppfyller detta, eftersom att alla andra exponentialfunktioners derivator blir multiplicerade med en faktor av ln(basen), exempelvis om funktionen är $2^x$så blir derivatan $2^x*\ln \left(2\right)$och samma sak för alla andra baser, och dessa kan aldrig bli 1 då x går mot 0. ln(e) däremot blir helt enkelt 1 och därför är derivatan av e^x helt enkelt e^x, och då x går mot 0 så får vi e^0 vilket är 1. Men som sagt detta kanske är lite "overkill", det är nog inte meningen att man ska lösa det på det här sättet.

Välj godtyckligt $x$ samt ett litet $h$. Då fås att:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$

{$f(a+b)=f(a)\cdot f(b)$}

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}=$

$f(x)\cdot \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h}=$

enligt andra sambandet

$f(x)\cdot 1=f(x)$

Alltså får vi följande differentialekvation att lösa:

$f'(x)=f(x)$

...

MathematicsDEF skrev:

Testade lite olika klassiska funktioner på Desmos och kom fram till att exponentialfunktionen (e^x) uppfyller alla krav, den är icke-konstant och är kontinuerlig för alla reella x. Men hur man kan komma fram till det utan att gissa är svårt, speciellt för en Ma3 fråga... Men om funktionen är e^x så blir derivatan på a) helt enkelt e^x och f(0) blir bara 1.

EDIT: Man kan nog klura ut vilken funktion det måste vara genom att enligt första villkoren f(a+b)=f(a)*f(b) inse att om man har två faktorer med samma bas multiplicerade ihop med varandra så adderar man bara exponenterna, exempelvis$2^3*2^4$så blir det helt enkelt $2^{3+4}$vilket är vad villkoret frågar efter. Så vi vet att det antagligen är en exponentialfunktion av något slag, det är bara basen vi inte riktigt vet, det är här andra villkoret kommer in.

Om vi antar att gränsvärdet är obestämt då x går mot 0, så kan vi använda L'Hôpitals regel och då får vi:

$\underset{x\to 0}{\lim }f\text{'}\left(x\right)=1$och det är bara $e^x$som uppfyller detta, eftersom att alla andra exponentialfunktioners derivator blir multiplicerade med en faktor av ln(basen), exempelvis om funktionen är $2^x$så blir derivatan $2^x*\ln \left(2\right)$och samma sak för alla andra baser, och dessa kan aldrig bli 1 då x går mot 0. ln(e) däremot blir helt enkelt 1 och därför är derivatan av e^x helt enkelt e^x, och då x går mot 0 så får vi e^0 vilket är 1. Men som sagt detta kanske är lite "overkill", det är nog inte meningen att man ska lösa det på det här sättet.

Wow tack. Bra förklaring!! 

tomast80 skrev:

Välj godtyckligt $x$ samt ett litet $h$. Då fås att:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=$

{$f(a+b)=f(a)\cdot f(b)$}

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x)f(h)-f(x)}{h}=$

$f(x)\cdot \lim_{h\to 0}\frac{f(h)-1}{h}=$

enligt andra sambandet

$f(x)\cdot 1=f(x)$

Alltså får vi följande differentialekvation att lösa:

$f'(x)=f(x)$

...

Taack för en tydlig förklaring. Om jag förstår rätt så ska f'(x) =f(x) då som MathematicsDEF beskriver bara e^x som uppfyller villkoren och f'(x)= e^x  samt  f(0)=e^0 =1  eller? 

Moffen skrev:

Hej!

Du kan inte gissa vilken funktion det är, du kan bara använda egenskaperna hos funktionen som är givet. Börja med att skriva ner derivatans definition och utnyttja egenskaperna hos $f$.

Jag vet men jag kom inte på något annat🙂.