Differentialekvation

Det där är en speciell typ av differentialekvation som kallas för Riccatiekvation. Vet du hur man löser en sådan? Du måste först ta reda på en partikulärlösning, vilket är ganska lätt att gissa sig fram till ifall du testar y=0, y=1 o.s.v.

Det är en separabel differentialekvation, och du kan ha stött på sådana förut. matteboken.se har en sida: https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/differentialekvationer/separabla-differentialekvationer

Om du skriver y' som $\frac{dy}{dx}$så kan du flytta över saker algebraiskt så att allt med y hamnar till vänster och allt med x till höger. Det är att vara separabel. Sedan brukar det bara vara att integrera.

Teraeagle skrev:

Det där är en speciell typ av differentialekvation som kallas för Riccatiekvation. Vet du hur man löser en sådan? Du måste först ta reda på en partikulärlösning, vilket är ganska lätt att gissa sig fram till ifall du testar y=0, y=1 o.s.v.

 Hej, hmm jag tror inte jag har sett en Riccatiekevation förut. Jag gissade mig fram till y=1 vet inte om de stämmer dock. 

Laguna skrev:

Det är en separabel differentialekvation, och du kan ha stött på sådana förut. matteboken.se har en sida: https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/differentialekvationer/separabla-differentialekvationer

 

Om du skriver y' som $\frac{dy}{dx}$så kan du flytta över saker algebraiskt så att allt med y hamnar till vänster och allt med x till höger. Det är att vara separabel. Sedan brukar det bara vara att integrera.

Hej, nåt sånthär?

Det stämmer att $y_1=1$. Nästa steg man gör är att definiera en ny variabel $z$:

$\displaystyle z=\frac {1}{y-y_1}$

Lös ut $y$ och derivera båda leden. Sedan kan du sätta in dina uttryck för $y$ och $y'$ och så kan du efter förenkling få en linjär differentialekvation med $z$ istället som är betydligt enklare att lösa.

Teraeagle skrev:

Det stämmer att $y_1=1$. Nästa steg man gör är att definiera en ny variabel $z$:

$\displaystyle z=\frac {1}{y-y_1}$

Lös ut $y$ och derivera båda leden. Sedan kan du sätta in dina uttryck för $y$ och $y'$ och så kan du efter förenkling få en linjär differentialekvation med $z$ istället som är betydligt enklare att lösa.

 Jaha okej så om jag löser ut y för så tror jag att det blir såhär y=(1/z)+1 och derivatan av y ger y'=(-1/y^2). Så stoppar jag in detta i mitt uttryck? Kommer jag inte få en z term som är z^2 när jag gör det?

Jag tror att du har räknat rätt men gått ett steg för långt. Efter derivering ska du ha:

${\displaystyle y\text{'}=\frac{-z\text{'}}{z^2}}$

jagheterså skrev:

Laguna skrev:

Det är en separabel differentialekvation, och du kan ha stött på sådana förut. matteboken.se har en sida: https://www.matteboken.se/lektioner/mattespecialisering/differentialekvationer/separabla-differentialekvationer

 

Om du skriver y' som $\frac{dy}{dx}$så kan du flytta över saker algebraiskt så att allt med y hamnar till vänster och allt med x till höger. Det är att vara separabel. Sedan brukar det bara vara att integrera.

Hej, nåt sånthär?

Just det. Nämnaren med y kan du dela upp i partialbråk, som en summa av bråk med bara linjära termer i nämnaren. 

Teraeagle skrev:

Jag tror att du har räknat rätt men gått ett steg för långt. Efter derivering ska du ha:

${\displaystyle y\text{'}=\frac{-z\text{'}}{z^2}}$

 Jaha, ser mitt misstag. Ska sätta in detta i diff ekvationen? 

jagheterså skrev:

Teraeagle skrev:

Jag tror att du har räknat rätt men gått ett steg för långt. Efter derivering ska du ha:

${\displaystyle y\text{'}=\frac{-z\text{'}}{z^2}}$

 Jaha, ser mitt misstag. Ska sätta in detta i diff ekvationen? 

 Precis. Då borde det trilla ut en linjär ekvation med z som du enkelt kan lösa ”som vanligt”