Djupt förträngda kunskaper 2

Rita figur!

Sen har du inte skrivit vad du gjort så det är svårt att säga vad du gjort fel. Du har säkert satt derivatorna=0 för att få fram max/min. Det är inte alls fel men inte hela lösningen. Du måste kontrollera intervallgränserna också. Kan det vara så att du har max/min vid x=-10, x=2, x=10 ?

Grejen är att jag vet inte hur man ritar figur för funktioner med absolut belopp. Är det 2 skillda funktioner? Eller är det 2 som är gransen?

Det är en funktion.
Men visst, du kan tänka på det som 2 funktioner när du ritar.
En från -10 till 2 och en från 2 till 10. Precis som du skrev.
När x=2 har de ju samma värde.

Länk till graf

Länk till graf som visar 'brottet' tydligare. Obs, inte hela intervallet

Tack!

Men vad är fel med mina derivator?

Hej!

Just denna uppgift blir enklare att lösa om man noterar att $x^2-4x$ kan skrivas $(x-2)^2 -4$ och att $(x-2)^2$ är samma sak som $|x-2|^2.$ Då blir funktionen ett andragradspolynom i $|x-2|.$ 

    $|x-2| +|x-2|^2-4 = (|x-2|+0.5)^2-4.25.$

Man ser direkt att funktionens minsta värde är $-4$ (antas när $x=2$) och eftersom avståndet mellan $2$ och $-10$ är större än avståndet mellan $2$ och $10$ antas funktionens största värde (lika med $12.5^2-4$) på det angivna intervallet när $x=-10.$

Albiki

Du har egentligen inte deriverat orginalfunktionen. Men att dela upp den i 2 funktioner är en smidigare lösning i detta fall. Då får du 2 derivator. Om de har svarat med en derivata i facit så får du jobba hårdare. Säg till om så är fallet.

Du kanske kan skriva vad de svarar i facit?
De kanske har svarat: $\frac{x-2}{|x-2|}+2x-4$     Vilket ger ett minimum vid x=2. 

@joculator:

KAN jag överhuvud taket derivera den originella funktion?

facit

@Albiki: detta har jag såklart inte insett.

Hur gjorde du omskrivningen nedan? Har du utvecklat parentesen? Varifrån kommer 0.5 och 4.25 ifrån?

Kvadratkomplettering. Det kan vara lättare att se vad som har hänt om man gör substitutionen $y = \left|x-2\right|$.

dajamanté skrev :

@joculator:

KAN jag överhuvud taket derivera den originella funktion?

Ja, men det är inte den smidigaste lösningen.

Om du kan tänka dig att godkänna:

$\left|x\right|=\sqrt{x^2}$

Så kan du använda kedjeregeln. I ditt fall är det inte x utan x-2 men samma metod går att använda. Du får då det jag skrev tidigare.

Men att sätta det lika med 0 och beräkna x är inte smidigt alls.

Hej!

Ett alternativ är att dela upp funktionens definitionsmängd i två delar och studera extremvärden på varje del, för att sedan sammanfatta samtliga extremvärden för att finna största och minsta värde över hela definitionsmängden.

Det slutna intervallet [-10,2]: Funktionen är

    $f(x) = 2-x+x^2-4x = x^2-5x+2$

Dess derivata är funktionen $f'(x) = 2x-5$ som är negativ över hela intervallet $[-10,2]$, vilket betyder att funktionen $f$ är strängt avtagande. Dess minsta värde är därför $f(2) = -4$ och dess största värde är $f(-10) = 152.$

Det slutna intervallet [2,10]: Funktionen är $g(x) = x^2-3x-2.$ Dess derivata är funktionen $g'(x) = 2x-3$, som är positiv över hela intervallet $[2,10],$ vilket betyder att funktionen $g$ är strängt växande. Dess minsta värde är därför $g(2) = -4$ och dess största värde är $g(10) = 68.$

Resultat: Det största värdet som funktionen $|x-2|+x^2-4x$ kan anta på det slutna och begränsade intervallet $[-10,10]$ är $152$ (vid $x=-10$) och det minsta värdet är $-4$ (vid Error converting from LaTeX to MathML).

Albiki

P.S. Jämför denna långrandiga lösningen med mitt tidigare lösningsförslag, för att illustrera styrkan i kvadratkomplettering. D.S.

Albiki skrev :

Hej!

Just denna uppgift blir enklare att lösa om man noterar att $x^2-4x$ kan skrivas $(x-2)^2 -4$ och att $(x-2)^2$ är samma sak som $|x-2|^2.$ Då blir funktionen ett andragradspolynom i $|x-2|.$ 

    $|x-2| +|x-2|^2-4 = (|x-2|+0.5)^2-4.25.$

Man ser direkt att funktionens minsta värde är $-4$ (antas när $x=2$) och eftersom avståndet mellan $2$ och $-10$ är större än avståndet mellan $2$ och $10$ antas funktionens största värde (lika med $12.5^2-4$) på det angivna intervallet när $x=-10.$

Albiki

Hej!

Det största värdet ska förstås vara $12.5^2-4.25=152$, och inte $12.5^2-4$ som jag skrev.

Albiki

Detta lösning förstår jag.

Jag lovar att jag ska jämföra den med kvadratt komplettering ... så fort jag har förstått kvadrattkomplettering med absolutbelopp...

Albiki skrev :

Albiki skrev :

Hej!

Just denna uppgift blir enklare att lösa om man noterar att $x^2-4x$ kan skrivas $(x-2)^2 -4$ och att $(x-2)^2$ är samma sak som $|x-2|^2.$ Då blir funktionen ett andragradspolynom i $|x-2|.$ 

    $|x-2| +|x-2|^2-4 = (|x-2|+0.5)^2-4.25.$

Man ser direkt att funktionens minsta värde är $-4$ (antas när $x=2$) och eftersom avståndet mellan $2$ och $-10$ är större än avståndet mellan $2$ och $10$ antas funktionens största värde (lika med $12.5^2-4$) på det angivna intervallet när $x=-10.$

Albiki

Hej!

Det största värdet ska förstås vara $12.5^2-4.25=152$, och inte $12.5^2-4$ som jag skrev.

Albiki

Du behöver inte att oroa dig, jag har inte märkt nånting!

Har också haft samma problem och ibland kan det underlätta enormt när man får en lösning framför sig. Jag ska därför vara lite snäll och beskriva hur jag löser liknande uppgifter. 

Det jag brukar göra är att dela upp intervallet i delintervall.

Det gäller ju att funktionen defintionsmängd är:  $-10\le x\le 10$

Undersök funktionsuttrycket via absolutbeloppet. 

När är $\left|x-2\right|\ge 0$ ? 

Jo för: $2\le x\le 10$   - vi kallar det för fall 1. 

När är $\left|x-2\right|<0$ ?

Jo för: $-10\le x<2$   - vi kallar det för fall 2.

Fall 1 ger: 

f(x) = $|x-2|+x^2 -4x$ = $x-2+x^2-4x=x^2-3x-2$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2x-3 \\ f\text{'}\left(x\right)=0 \\ 2x-3=0 \iff x=\frac{3}{2} (utelämnas - u\tan för defintionsmängden i fall 1)\hspace{0.17em} \end{gathered}$$

Fall 2 ger: 

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\left|x-2\right|+x^2-4x=-(x-2)+x^2-4x=x^2-5x+2 \\ f\text{'}\left(x\right)=2x-5 \\ f\text{'}\left(x\right)=0 \\ 2x-5=0 \iff x=\frac{5}{2} (utelämnas - u\tan för definitionsmängd i fall 2) \end{gathered}$$

* En funktion antar lokala extrempunkter antingen i derivatans nollställen eller i intervallets ändpunkter. - Vi behöver alltså också undersöka funktionsvärdet i intervallets ändpunkter. I detta fall för x=-10, x=2 och x=10

$$\begin{gathered} f(-10)=\left|-10-2\right|+(-10{)}^2-4(-10) =12+100+40=152 \\ f(2)=\left|2-2\right|+(2{)}^2-4\left(2\right)=0+4-8=-4 \\ f\left(10\right)=\left|10-2\right|+(10{)}^2-4(10)=8+100-40=68 \end{gathered}$$

Svar: globalt minimum är $f\left(2\right)=-4$ och globalt maximum är $f(-10)=152$

@Mathkin: Tack, det var mycket en detaljerad lösning. Jag märker nu att jag har till och med missat att både lösningar 1.5 och 2.5 var inte i intervallet!

@Albiki: nu har jag sovit på saken och vill verkligen förstå den här maktfull absolutbelopp kvadratt komplettering!

$$\begin{gathered} f\left(x\right)= \left|x-2\right| +x^2-4x \\ f\left(x\right)= \left|x-2\right| +\left(x^2-4x+4\right) -4 \\ f\left(x\right)= \left|x-2\right| +{\left(x-2\right)}^2 -4 \end{gathered}$$

Tills detta steg är jag med.

Men efter det? @Smaragdalena säger att göra komplettering med $y=|x-2|$? Den enda jag kan komma på är $f\left(x\right)= \left|x-2\right| +\left(x-2\right)(x+2) -4$ ? Hur mycket jag nu kliar hjärnan kommer jag inte på ${\left(\left|x-2\right|+0.5\right)}^2-4.25$.

Alltså jag ''ser'' att 0.5 upphöjd i 2 ger 0.25, men inte vidare. The force is weak.

EDIT: Nu har jag utvecklat $f\left(x\right)={\left(|x-2|+0.5\right)}^2-4.25$ istället:

$f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2+(x-2) \left[eller \left|x-2\right|??\right]+0.25-4.25$, nu ser jag!

Men hur kunde du inse att kvadrattkomplettering gömde sig här? Jag vill veta hur man gör!

Måste det vara en absolut belopp parentes omkring $x-2$?

Albiki skrev:

Man ser direkt att funktionens minsta värde är −4 (antas när x=2)

Nu ser jag det! Yay!

..och eftersom avståndet mellan 2 och −10 är större än avståndet mellan 2 och 10 antas funktionens största värde (lika med 12.52−4) på det angivna intervallet när x=−10.

Vad menar du med detta? Vad pelar för roll att det är mindre avstånd mellan 2 och -10 än 2 och 10?

Andragradsfunktionen är symmetrisk. Om det är fler steg från minimum till vänsterkanten än från minimum till högerkanten blir det ett högre värde på vänsterkanten.

Smaragdalena skrev :

Andragradsfunktionen är symmetrisk. Om det är fler steg från minimum till vänsterkanten än från minimum till högerkanten blir det ett högre värde på vänsterkanten.

Nämen guuud, ja, såklart! Otroligt hur mycket ni kan se bara igenom att titta på två rad!

Jag måste träna på denna kvadrattkomplettering.