Division med rest

Jag har tänkt såhär av att försökt "härma" en föreläsning med ett liknande tal, men har verkligen ingen aning om huruvida det är rätt: 

2^158 = (2^2)^79 = 4^79

4^79 kongruent med (-1)^79 (mod5). Eftersom att 4-(-1) = 5 som är delbart med 5, stämmer det sättet att tänka? 

79 = 3*26 + 1. Därav skriver jag om uttrycket till ((-1)^3)^26 * (-1)^1 = (-1)^26 * (-1) = -1 

Så då är 4^79 kongruent med -1 mod 5. Resten blir då -1?

Det är i princip rätt. Men du krånglar till det lite på näst sista raden. (-1)⁷⁹ = -1, eftersom 79 är ett udda tal, hade varit en enklare insikt.

Sedan brukar man ange resten vid division med 5 som ett tal mellan 0 och 4. Så du borde nog ha svarat 4, eftersom $-1 {\equiv }_5 4$.

Tack! Vad menar du med att jag borde svarat med 4 istället? Menar du att eftersom att resten är -1 och 4 är kongruent med -1 mod 5 så är resten även 4? 

Det är en fråga om definition. Per definition skall resten vid division med 5 vara något av talen 0, 1, 2, 3 eller 4. Du kan läsa mer på Wikipedia.

Om man inte vill blanda in (-1):

$$\begin{gathered} 2^4=16\equiv 1 (mod 5) \iff {\left(2^4\right)}^{39} = 2^{156}\equiv 1^{39} (mod 5) \\ {2}^{158}=2^{156} ·2^2\equiv 1·2^2 (mod 5) \end{gathered}$$

Så resten blir 4

Använder mig av att

$x_1\equiv y_1(mod n) \wedge x_2\equiv y_2(mod n) \iff x_1{x}_2 \equiv y_1{y}_2(mod n)$

Något som jag tycker underlättar allmänt vid kongruensräkning är att ha koll på vad det ens betyder matematiskt.

$x\equiv y (mod n) betyder att det finns ett a\in \mathrm{\mathbb{Z}} så att x - y = a·n$

Alltså att differensen av x och y ska vara en multipel av n.

Tack, 

Ja, det förstår jag. Men det blir så himla luddigt med så stora tal. Att exempelvis då 2^158-y = a*5 är för stort för att mitt huvud ska kunna dra någon slutsats om vilket tal det skulle kunna vara. 

Men jag antar att man bara ska bryta ner talen tills att det blir små nog att kunna se huruvida de är kongruenta eller ej?