Division med noll

Att dela med noll ger ett odefinierat svar. Vad man menar med det kan du förstå vad som händer i t.ex. uttrycket 1/x och x börjar närma sig noll. Vad blir det när x är mycket litet och positivt? Jämför det med med när x är mycket litet och negativt. 

Daja skrev :

Hej,

Jag har svårt att förstå divisionen med noll, som liknar magi tycker jag.

Om man har en vänster led och 0 i högerled, kan man multiplicera och dividera med vadsomhelst, 0:an på andra sidan "absorberar" ju allt som en svart håll.

Däremot är det helt och enkelt förbjudet att dela med noll. Som en matematisk tabu, lite grand som när vi är barn och förbjudas leka med bajs (för det är full med bakterier). Matematiker har kommit på bokstaven i, för imaginära lösningar, men det är förbjudet att dela med noll! Kan man inte komma på nåt fantastisk bokstav för att dela med noll :)?

Är det någon som orkar förklara :)?

 Testa; 1/10 .1/100, 1/1000, 1/10000. 1/10000,

Kvoten blir all större..

Det går inte mot något begränsat värde.

Visst kan du bestämma att t ex division med noll  get svaret ett.

Men här får man problem.

Ibland inför man beteckningen $\infty$, oändligheten - fast oändligheten följer inte normala matematiska lagar!

$\infty -\infty$ kan bli precis vad som helst - tänk dig att du lägger oändligt många kulor i en (oändligt stor) burk, och sedan tar bort allihop - då blir det 0. Tänk dig att du lägger dit oändligt många men tar bort alla utom de fem första - då blir det 5. Tänk dig att du lägger dit oändligt många men bara tar upp de som hade ett jämnt nummer - då blir resultatet oändligt. Så akta dig för oändligheten, den är farlig!

Bara för att krångla till det, kan man visa att det finns olika stora oändligheter också.

Men 1/10, 1/100 blir inte större och större, anders45!

emilg skrev :

Att dela med noll ger ett odefinierat svar. Vad man menar med det kan du förstå vad som händer i t.ex. uttrycket 1/x och x börjar närma sig noll. Vad blir det när x är mycket litet och positivt? Jämför det med med när x är mycket litet och negativt. 

 Hej!

Men for vad du beskriver vi har en + och - ∞ !

Jag vill veta vad är specifik med noll :)

Man kan se på matematik som ett redskap för att beskriva verkligheten. Vi skapar en matematik som är användbar för det. 

Då kan man tänja sig att 5*1 är beräkningen man gör för att få svar på frågan "Äppelhandlaren köper äpplen för fem kronor stycket. Lisa har ett äpple. Hur mycket pengar får hon?"

På samma sätt är 5*0  beräkningen man gör för att få svar på frågan "Äppelhandlaren köper äpplen för fem kronor stycket. Nisse har inga äpplen. Hur mycket pengar får han?"

5/2 är beräkningen man gör för att få svar på frågan "Lisa delar sina pengar med Nisse. Hur mycket får var och en?"

Men vilken fråga får man svar på genom beräkningen 5/0? Om man inte kan komma på en sådan fråga är det inte meningsfullt att definiera division med 0. 

SvanteR skrev :

Man kan se på matematik som ett redskap för att beskriva verkligheten. Vi skapar en matematik som är användbar för det. 

 

Då kan man tänja sig att 5*1 är beräkningen man gör för att få svar på frågan "Äppelhandlaren köper äpplen för fem kronor stycket. Lisa har ett äpple. Hur mycket pengar får hon?"

 

På samma sätt är 5*0  beräkningen man gör för att få svar på frågan "Äppelhandlaren köper äpplen för fem kronor stycket. Nisse har inga äpplen. Hur mycket pengar får han?"

 

5/2 är beräkningen man gör för att få svar på frågan "Lisa delar sina pengar med Nisse. Hur mycket får var och en?"

 

Men vilken fråga får man svar på genom beräkningen 5/0? Om man inte kan komma på en sådan fråga är det inte meningsfullt att definiera division med 0. 

 Men det var inte meningsful att leta efter kvadratroten av en negativ nummer, men det finns i ändå imaginära tal. Varför har vi inga ''imaginära" tal för division med noll?

Och varför går det att göra allt möjligt med högerleden i en ekvation om den vänster är noll?

Detta är inte ett komplett bevis och har därför inget att göra i Matematik>Bevis.  Tråden flyttas till Matematik> Allmänna diskussioner.  /moderator

Jag rekomenderar en video av Numberphile https://www.youtube.com/watch?v=BRRolKTlF6Q där de talar om det.

Hej! Lek med tanken att det går att dividera med noll. Då betecknar symbolen $\frac{1}{0}$ ett (rationellt) tal, som du kan kalla $T$.

    $T = \frac{1}{0}.$

Eftersom $T$ är ett tal så går det bra att multiplicera det med talet noll, vilket ger $0\cdot T = 1$. Men du vet ju också att om man multiplicerar ett tal med noll så får man talet noll. Därför måste det gälla att $0\cdot T=0$. Du ser att konsekvensen av detta är att

    $0 = 1$.

Men om $0=1$ så måste det också gälla att $0=2$, eftersom $2 = 1+1=0+0=0$; på samma sätt måste det gälla att $0=n$ för varje heltal $n$.

Du ser att om man skulle få lov att dividera med noll så skulle det inte finnas några heltal (annat än noll). Om det inte finns några heltal så finns det inte några rationella tal (kvoter). Om det inte finns rationella tal så finns det inte reella tal. Om det inte finns reella tal så finns det inte komplexa tal... Med andra ord, om man skulle få lov att dividera med noll så skulle det inte finnas Matematik.

Därför är det inte tillåtet att dividera med noll!

Albiki skrev :

Hej! Lek med tanken att det går att dividera med noll. Då betecknar symbolen $\frac{1}{0}$ ett (rationellt) tal, som du kan kalla $T$.

    $T = \frac{1}{0}.$

Eftersom $T$ är ett tal så går det bra att multiplicera det med talet noll, vilket ger $0\cdot T = 1$. Men du vet ju också att om man multiplicerar ett tal med noll så får man talet noll. Därför måste det gälla att $0\cdot T=0$. Du ser att konsekvensen av detta är att

    $0 = 1$.

Men om $0=1$ så måste det också gälla att $0=2$, eftersom $2 = 1+1=0+0=0$; på samma sätt måste det gälla att $0=n$ för varje heltal $n$.

Du ser att om man skulle få lov att dividera med noll så skulle det inte finnas några heltal (annat än noll). Om det inte finns några heltal så finns det inte några rationella tal (kvoter). Om det inte finns rationella tal så finns det inte reella tal. Om det inte finns reella tal så finns det inte komplexa tal... Med andra ord, om man skulle få lov att dividera med noll så skulle det inte finnas Matematik.

Därför är det inte tillåtet att dividera med noll!

Detta var min första tanke också, men man skulle kunna göra ungefär samma invändning mot att i^2=-1. "Då kan vi visa att 1=-1, och alltså att 2=0..." osv. Anledningen till att vi inte kan det är ju att vi har bestämt att vissa räkneregler inte gäller hur som helst (som att $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ inte gäller för a,b<0), och Dajas följdfråga borde därför bli "varför inte bara införa några nya restriktioner, räkneregler eller definitioner som låter oss komma runt problemet vid division med 0 också?"

Jag antar att svaret är att vi helt enkelt inte har hittat några praktiska applikationer eller teoretiska fördelar med en sådan expansion av matten (som SvanteR är inne på) och att det inte finns något uppenbart/intuitivt sätt att göra det. Men jag vet inte...

Saken är att $i^2$ inte är lika med $-1.$

När man skriver på det sättet lurar man sig själv att tro att komplexa tal multipliceras med samma metod som vanliga (reella) tal. Faktum är att multiplikation av komplexa tal är komplicerat; där multiplikation av reella tal endast förminskar (eller förstorar) ett tal åstadkommer multiplikation av komplexa tal förminskning (eller förstoring) samt rotation. För reella tal är rotation med en viss vinkel (annat än 180 grader) inte meningsfullt, eftersom reella tal är en-dimensionella objekt och komplexa tal är två-dimensionella objekt.

Daja skrev :

 Men det var inte meningsful att leta efter kvadratroten av en negativ nummer, men det finns i ändå imaginära tal. Varför har vi inga ''imaginära" tal för division med noll?

Ett svar är att kvadratroten ur negativa tal behövs för att lösa tredjegradsekvationer med reella rötter. Här är en text om det:

http://dixon.hh.se/getc/Intro/KomplexaTal.pdf

Först av allt: precis som Albiki och Russel konstaterar går det omöjligen att tillåta nolldivision utan att något "går sönder", så tillvida att man blir tvungen att ge upp någon matematisk regel. Men om man är beredd att göra tillräckligt stora sådana uppoffringar, så går det att trixa lite, och en rätt kul approach är att utvidga de reella talen till ett hjul (länk till avhandling av Jesper Carlström), som är en matematisk struktur där en slags "division" alltid är tillåten.

Problemet är att väldigt många av de egenskaper vi håller kära hos de reella talen går förlorade när vi gör den här utbyggnaden. Bland annat kommer varken $0\cdot x=0$ eller $x-x=0$ att gälla för alla $x$. (Ett par saker som däremot blir precis som vanligt är att addition och multiplikation kommuterar, och att $0+x=x$ och $1\cdot x=x$ för alla $x$.)

Det man förenklat uttryckt gör är att man inför en operation (vår "division"), säg $|$. Exakt hur denna är definierad är komplicerat att beskriva (det har med att vända på "bråk" att göra, se s. 4 i avhandlingen för detaljer), men för vanliga tal fungerar den precis som vanlig division $/$. Exempelvis är $3|4=3/4=0.75$. Det intressanta inträffar när man blandar in 0:an, vilket får två helt nya tal att dyka upp: $0|0$ och $1|0$. Det är dessa båda tal som ställer till det och får diverse räkneregler att fallera. Två motexempel till de två fallerade räknereglerna som nämndes ovan är att $0\cdot (1|0) = 0|0 \neq 0$ och att $(0|0)-(0|0)=0|0\neq 0$ (detta kan visas med hjälp av axiomen för ett hjul som listas på s. 5 och diverse resultat som visas på s. 24-25 i Carlströms avhandling).

Eftersom det här hjulet (för den delen alla andra hjul också) är så oerhört annorlunda mot mer välkända matematiska strukturer som ringar (de hela talen är ett bra exempel på en ring) och kroppar (de reella talen är ett bra exempel på en kropp) är tillämparheten säkert väldigt begränsad, men att gå igenom hela Carlströms avhandling om dem är nog en rätt kul övning i abstrakt algebra och kategoriteori, i fall någon är sugen på sånt :D

Det stämmer att det var tredjegradsekvationer som gav upphov till konstruktionerna av komplexa tal, och inte andragradsekvationer som $x^2+1=0$ (även om många läroböcker i gymnasiet påstår det).

Ta till exempel tredjegradsekvationen $x^3-12x+15=0$. Om du ritar grafen till tredjegradspolynomet så ser du att den skär x-axeln i tre stycken punkter, vilket betyder att ekvationen har tre stycken lösningar som alla är reella tal.

Det är inget konstigt med det.

Vad som är konstigt är det som händer när du använder lösningsformeln för tredjegradsekvationer (en komplicerad motsvarighet till PQ-formeln). Där kommer du nämligen se uttryck som innehåller kvadratrötter av negativa tal! Detta är mystiskt.

Du vet att uttrycken motsvarar reella tal (grafen visade ju det), men de innehåller objekt som inte existerar; kom ihåg att detta hände innan man visste hur komplexa tal skulle kunna konstrueras. 

Detta var en tydlig indikation att komplexa tal är en realitet, och inte något imaginärt.

Tack för alla meningsfulla svar, som svarar på mina funderingar, och även på frågor jag inte ens visste jag hade! Jag gillar särskilt omkring promenaden med talet T som sönderfaller matematik. (ja, ok i kan också det till some extend :)

Albiki skrev :

Saken är att $i^2$ inte är lika med $-1.$

När man skriver på det sättet lurar man sig själv att tro att komplexa tal multipliceras med samma metod som vanliga (reella) tal. Faktum är att multiplikation av komplexa tal är komplicerat; där multiplikation av reella tal endast förminskar (eller förstorar) ett tal åstadkommer multiplikation av komplexa tal förminskning (eller förstoring) samt rotation. För reella tal är rotation med en viss vinkel (annat än 180 grader) inte meningsfullt, eftersom reella tal är en-dimensionella objekt och komplexa tal är två-dimensionella objekt.

En fråga här. Är det inte så att definitionen av den imaginära enheten $i$ är just identiteten $i^2=-1$?

Jag har sett att många tror att $\sqrt(-1)=i$, men jag brukar tänka att det är rent felaktigt eftersom det inte är definitionen, utan definitionen av $i$ är det jag skrev ovan 

 i^2 är -1.  Albiki snedtänkte nog för en gångs skull.

Hej!

Nej, jag snedtänkte inte.

Det komplexa talet $i$ är ett par av två reella tal

    $\displaystyle i = (0,1)$

och det komplexa talet -1 är ett par av två reella tal,

    $\displaystyle -1 = (-1,0)$.

Om man glömmer att tänka på $-1$ som det komplexa talet

    $\displaystyle -1 = (-1,0)$

(vilket många ofta gör) så blandar man ihop det komplexa talet $i^2$ med det reella talet $-1$ när man skriver

    $\displaystyle i^2 = -1$.

Albiki

Hej!

Att det komplexa talet $i^2$ är lika med det komplexa talet $(-1,0)$ följer av hur multiplikation av två komplexa tal är definierat.

    $\displaystyle i^2 = (0,1)*(0,1) = (0\cdot 0 - 1 \cdot 1,0\cdot1 + 1\cdot 0) = (-1,0)$,

där symbolen $*$ betecknar multiplikation av komplexa tal och symbolen $\cdot$ betecknar multiplikation av reella tal.

Albiki